Chiarimento su un esercizio con Teorema di Stokes

[mikelozzo]

Ciao a tutti:

sto cercando di seguire (rifacendola io) una prova scritta di Analisi 2 del mio prof; da un esercizio abbastanza lungo di parametrizzazione di un cono chiuso cavo al centro (buco dato da un ellissoide)



giungo attraverso una nuova parametrizzazione dettata dall'esercizio a una superficie del tipo:



ovvero una parte del cono (che va da $-2<=z<=2$) con $-1<=z<=1$.
Ne ho parametrizzato i bordi ed ora l'esercizio mi dice:

Calcolare $int int_(sum, mu) (nabla xx G)dsigma$ con G appart $C^1 (sum, R^3)$, $G(x,y,z)= (-y, y, z)$

che il prof. svolge cosi:



ora le mie domande sono:
1) perchè in alcuni esercizi vi è il segno $+$ ed in altri il segno $-$ (in giallo) tra i due, tre.. integrali?
Non capisco da cosa dipenda.. a senso io direi che ci andrebbe il segno $+$ perchè io mi immagino il flusso come una quantità che passa tra le superfici e quindi mi da l'idea di qualcosa che si deve sommare per avere il totale..

2) se è meno come regola può dipendere dal fatto che (PROPRIETA')?:

da wikipedia

e quindi mi verrebbe da pensare che la curva+ sarebbe l'estremo superiore, mentre la curva- quello inferiore?
[è altamente probabile che stia dicendo una marea di cacchiate perchè sono solo mie supposizioni, immagino prive di fondamento , quindi non mi sgridate troppo]

3) in base a cosa dunque capisco (se diverso da caso a caso) quale è il segno davanti ogni integrale? Il procedimento generale mi interessa piu che altro ..

grazie a tutti

[gio73]

Non sono riuscita a leggere bene il testo che comunque va oltre le mie possibilità...
Probabilmente lo sai già e io non ho capito la tua domanda, ma mi sembra di ricordare che il segno davanti all'integrale cambia se cambi l'ordine degli estremi di integrazione...

[Quinzio]

"mikelozzo":
1) perchè in alcuni esercizi vi è il segno $+$ ed in altri il segno $-$ (in giallo) tra i due, tre.. integrali?
Non capisco da cosa dipenda.. a senso io direi che ci andrebbe il segno $+$ perchè io mi immagino il flusso come una quantità che passa tra le superfici e quindi mi da l'idea di qualcosa che si deve sommare per avere il totale..

Il fatto è questo: la superficie è orientata, cioè definisci arbitrariamente come positiva una delle due facce della superficie. L'orientamento lo decidi tu, oppure te lo assegnano, comunque è definito da qualcuno. La faccia positiva diventa quindi quella da cui esce il vettore normale.
A questo punto quando fai l'integrale sul bordo il segno dipende da questo: se camminando lungo il bordo trovi sulla sinistra la faccia positiva, il segno è +, altrimenti è -.
(Anche per ogni integrale sul bordo quindi è stata definito un verso di percorrenza, che è quello che si segue quando dico "camminando sul bordo").
Vedo che il tuo disegno è corredato da freccine molto chiare sui versi di percorrenza, quindi dovrebbe esserti chiaro.
Direi che è tutto qui.

[mikelozzo]

A Quinzio: credo di aver capito il concetto teorico.. ora provo ad applicarlo all'esercizio e ti dico se mi ci ritrovo

"gio73":Non sono riuscita a leggere bene il testo che comunque va oltre le mie possibilità...

ti ringrazio comunque per aver provato ad aiutarmi amo questo sito per persone come Quinzio che ti danno una mano, e per persone come te che hanno tanta buona volontà anche nei casi piu complessi

[mikelozzo]

mi sono permesso di fare un disegno che cercasse di spiegare ciò che diceva Quinzio.. (PS. da notare l'omino fighissimo visto di spalle con i capelli gialli che cammina sui bordi XD)

se non ho capito male quindi dipende da quale vettore normale scelgo poichè da questo dipende il lato positivo della superficie.. in questo caso l'integrale mi dice di scegliere $mu$ come cerchiato in rosso nell'integrale.. quindi immagino che se avessi avuto un vettore normale $v=-mu$ i segni sarebbero stati invertiti, se non ho capito male e nell'integrale sarebbe apparso $v$ al posto di $mu$.. è giusto??