Chiarimento su Teorema di Schwarz
Salve. Avrei la necessità di un chiarimento riguardo alle ipotesi sul Teorema di Schwarz. Sul mio libro, c'è scritto che la funzione in questione, deve:
1)Essere definita in un insieme $ A $ aperto di $ R2 $
2)Essere derivabile due volte in $ A $
3)Avere derivate seconde miste definite e continue in un punto $ P(x0,y0)∈A $
Ecco, il mio dubbio riguarda la necessità della seconda ipotesi, nel senso: la funzione deve ammettere tutte le derivate seconde (quindi anche quelle "pure") nell'insieme in questione? Oppure, bastano solo le derivate seconde miste? Lo chiedo perché in alcuni testi, viene richiesta proprio quell'ipotesi, mentre in altri, no.
1)Essere definita in un insieme $ A $ aperto di $ R2 $
2)Essere derivabile due volte in $ A $
3)Avere derivate seconde miste definite e continue in un punto $ P(x0,y0)∈A $
Ecco, il mio dubbio riguarda la necessità della seconda ipotesi, nel senso: la funzione deve ammettere tutte le derivate seconde (quindi anche quelle "pure") nell'insieme in questione? Oppure, bastano solo le derivate seconde miste? Lo chiedo perché in alcuni testi, viene richiesta proprio quell'ipotesi, mentre in altri, no.
Risposte
In effetti le ipotesi del teorema possono essere indebolite in vari modi. Vedi qui, "sufficiency of twice differentiability" (oppure il libro degli Hubbard che viene citato dalla pagina Wiki).
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