Chiarimento su passaggio di un Integrale

GigiiAnalisi
Ciao ragazzi!

ho un dubbio su un passo di un integrale e chiedo a voi un chiarimento.
Dopo vari calcoli sono arrivato nel punto in cui mi ritrovo in questa situazione:
$ -2int -4/(x^2+4) dx $

Il passaggio seguente ho portato il 4 fuori dall'integrale e ho notato che assomiglia molto all'integrale noto dell'arcotangete. Precisamente ho fatto questi calcoli:

$ 8int 1/(4(x^2/4+1)) dx $

Ora ho fatto la sostituzione: $ t=x/2 ->dt=1/2dx $

Ora ho un dubbio. A me manca l'1/2 per potermi riscrivere esattamente il dt, quindi potrei moltiplicare sia Numeratore che Denominatore per 1/2. Oppure potrei pensare al fatto che se sostituisco nel modo sopra citato, di conseguenza $ x=2t ->dx=2 $
In questo ultimo modo evito quindi di moltiplicare sia sopra che sotto per 1/2.
Vi volevo chiedere se sono giusti entrambi i ragionamenti oppure c'è qualche errore di concetto.
Vi ringrazio!

Risposte
pilloeffe
Ciao GigiiAnalisi,

Benvenuto sul forum!

Si ha:

$-2 \int -4/(x^2+4) \text{d}x = 4 arctan(x/2) + c $

Tutti i ragionamenti che ti portano al risultato menzionato sono corretti... :wink:
"GigiiAnalisi":
A me manca l'1/2 per potermi riscrivere esattamente il dt, quindi potrei moltiplicare sia Numeratore che Denominatore per 1/2.

Sì, ma potresti anche prendere quel $4$ che hai raccolto a denominatore, trasformarlo in un $2$ e l'altro $2$ metterlo sotto il $\text{d}x $... :wink:
"GigiiAnalisi":

Oppure potrei pensare al fatto che se sostituisco nel modo sopra citato, di conseguenza $x=2t \implies dx=2 $

Occhio che qui naturalmente c'è un errore perché manca il $\text{d}t$: $ \text{d}x = 2 \text{d}t $

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