Chiarimento su limite

[grisson]

oggi stavo svolgendo questo limite:

(1-cos^3 (x))/(sen^2 (x)) per x->0
ho moltiplicato e diviso per x^2 per ricondurmi ad un limite notevole ( cioè x^2/sin^2(x) ), ma ho trovato difficoltà nel proseguire.
Cosi, giusto per avere un idea dell'andamento ho tracciato il grafico della funzione con un software apposito e ho notato che (1-cos^3 (x))/(x^2) tende a 3/2.
Ho tracciato successivamente i grafici di (1-cos^4 (x))/(x^2) ecc... aumentando sempre l'esponente del coseno di una unità e ho visto che per x=0 il grafico tocca y in n/2 dove n è l'esponente del coseno.

Posso generalizzare e dire che in questi casi il limite è "n/2" (riconducendomi al limite notevole)oppure non è vero?

Grazie.

[V3rgil]

una semplice scomposizione... Dato che $(senx)^2=(1+cosx)(1-cosx)$ e $1-(cosx)^3=(1-cosx)(1+(cosx)^2+cosx)$
$lim_(x->0)((1-cosx)(1+(cosx)^2+cosx)/((1+cosx)(1-cosx)))$
semplifichi e trovi che il limite dato è 3/2

[gugo82]

"V3rgil":una semplice scomposizione... Dato che $(senx)^2=(1+cosx)(1-cosx)$ e $1-(cosx)^3=(1-cosx)(1+(cosx)^2+cosx)$
$lim_(x->0)((1-cosx)(1+(cosx)^2+cosx)/((1+cosx)(1-cosx)))$
semplifichi e trovi che il limite dato è 3/2

Oppure basta ricordare la scomposizione notevole $1-y^3=(1-y)*(1+y+y^2)$ ed i limiti notevoli:

$lim_(x to 0)(1-cos^3 (x))/(sen^2 (x))=lim_(x to 0)(1-cosx)/x^2*x^2/(sen^2 (x))*(1+cosx+cos^2x)=1/2*1*(1+1+1)=3/2$.