Chiarimento su integrale irrazionale

[crio1]

ragazzi scusate so che è banale ma come si risolve questo integrale?

$int t*sqrt(1+4t^2 dt$

so che si fa immediato ma non ho capito il meccanismo grazie in anticipo x.x , settimana pre-esame capitemi !! :C

[Lory314]

$ \int f'(t) f(t)^{\alpha} dt = 1/{\alpha+1}f(t)^{\alpha+1} $Innanzi tutto osserva che fuori dalla radice hai (a meno di una costante) la derivata della funzione sotto la radice. L'idea è quella di ricondursi a qualcosa del tipo:
$
\int f'(t) f(t)^{\alpha} dt = 1/{\alpha+1}f(t)^{\alpha+1} \quad (\star)
$
Ora tu hai
$
\int t\sqrt{1+4t^2}dt = \int t(1+4t^2)^{1/2}dt = 1/8\int8t(1+4t^2)^{1/2}dt
$
In questo modo ci siamo ricondotti alla forma $(\star)$ con $\alpha = 1/2$, $f(t)=1+4t^2$, $f'(t) = 8t$. Quindi:
$
\int t\sqrt{1+4t^2}dt = \int t(1+4t^2)^{1/2}dt = 1/8\int8t(1+4t^2)^{1/2}dt = 1/{1+1/2}(1+4t^2)^{1+1/2} = 2/3(1+4t^2)^{3/2}
$

[crio1]

ottimo capito tutto !! grazie mille