Chiarimento su Equazione differenziale particolare
Ciao a tutti,
ho un dubbio riguardo un caso particolare di equazione differenziale. Riporto quanto scritto su wikipedia:
Il mio dubbio riguarda la frase sottolineata nell'immagine.. ovvero.. non riesco a capire in che caso mi trovo. Mi spiegate per bene questa cosa magari con qualche esempio? Ho esame dopodomani quindi gradirei capirlo al più presto
ho un dubbio riguardo un caso particolare di equazione differenziale. Riporto quanto scritto su wikipedia:
Il mio dubbio riguarda la frase sottolineata nell'immagine.. ovvero.. non riesco a capire in che caso mi trovo. Mi spiegate per bene questa cosa magari con qualche esempio? Ho esame dopodomani quindi gradirei capirlo al più presto
Risposte
Non per fare polemica, ma con l'esame dopodomani perdi ancora tempo con wikipedia invece di studiare da un libro serio?
Ad ogni modo, prendi $y''+y=sin2x$ e vedi che succede...
Ad ogni modo, prendi $y''+y=sin2x$ e vedi che succede...
"Gugo82":
Non per fare polemica, ma con l'esame dopodomani perdi ancora tempo con wikipedia invece di studiare da un libro serio?
Ad ogni modo, prendi $y''+y=sin2x$ e vedi che succede...
l'equazione omogenea dovrebbe dare come unica soluzione "i". mentre la beta in questione dovrebbe essere 2... quindi la domanda è 2i è una radice dell'equazione? penso di no
se invece fosse stata sinx allora si... è corretto?
"CyberCrasher":
[quote="Gugo82"]Non per fare polemica, ma con l'esame dopodomani perdi ancora tempo con wikipedia invece di studiare da un libro serio?
Ad ogni modo, prendi $y''+y=sin2x$ e vedi che succede...
l'equazione omogenea dovrebbe dare come unica soluzione "i". mentre la beta in questione dovrebbe essere 2... quindi la domanda è 2i è una radice dell'equazione? penso di no
se invece fosse stata sinx allora si... è corretto?[/quote]
Ecco qua la magagna...
L'equazione omogenea non "dà come unica soluzione $"i"$", poichè infatti la funzione $y(x)="i"$ non è soluzione di $y''+y=0$.
Casomai $"i"$, anzi, $pm"i"$ sono le uniche radici del polinomio caratteristico $lambda^2+1$ (o anche le uniche soluzioni dell'equazione caratteristica $lambda^2+1=0$) associato all'equazione differenziale omogenea $y''+y=0$. Sembra una questione terminologica da poco, ma non lo è.
Ad ogni modo, ora che abbiamo trovato le radici dell'equazione caratteristica, guardiamo il termine noto $sin2x$: esso è nella forma $"e"^(alpha x)*[C_1cosbeta x+C_2sinbetax]$ con $alpha=0,beta=2,C_1=0,C_2=1$, quindi "individua" la coppia di numeri complessi coniugati $alpha pm beta"i"=pm 2"i"$.
Ora, per applicare il teorema, devi rispondere alla seguente domanda: -I numeri $pm2"i"$ sono radici del polinomio caratteristico associato alla EDO omogenea?-
La risposta è, evidentemente, no (perchè come detto $pm"i"$ sono le uniche radici del polinomio caratteristico).
Quindi in questo caso la soluzione particolare dell'EDO completa va cercata tra la funzioni del tipo $"e"^(alphax)*[Acosbetax+Bsinbetax]$, ove $alpha=0,beta=2$ sono quelli di prima, ossia la tua soluzione particolare ha da essere una della famiglia:
$Acos 2x+Bsin2x$.
P.S.: Sai da quale tipo di considerazioni viene fuori il polinomio caratteristico e la semplice regola per calcolarlo?
oh.. grazie mille 
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