Chiarimento su eq. differenziali non omogenee
Ieri sera ho fatto le ore piccole su quattro righe in croce che non riesco proprio ad afferrare: menomale che ci siete voi! 
Devo giustificare che la funzione
$ g(t)=y_0e^(int_(t_0)^t a(s)ds)+ e^(int_(t_0)^t a(s)ds)int_(t_0)^t e^(-int_(t_0)^t a(s)ds)b(u)du $ (2)
è soluzione del problema di Cauchy $ { ( y'=a(t)y+b(t) ),( y(t_0)=y_0 ):} $ .
Mediante una verifica diretta mi pare tutto a posto: mi risulta $c = (y_0-e^(A(t_0))B(t_0))/e^(A(t_0))$, dove A(t) è una primitiva di a(t) e B(t) è una primitiva di $e^(-A(t))b(t)$; manipolando un po' i simboli si ricava la (2).
Non mi è chiara, però, la dimostrazione esposta nella dispensa (riporto in bold quello che, in particolare, non capisco):
per il teorema precedente [ndr: l'integrale generale della $y'(t)= a(t)y(t)+b(t)$ è $y = e^A(t)(c + B(t))$ (1)] "il membro destro della formula (2) con $c$ costante arbitraria al posto di $y_0$ dà l'integrale generale $y(t)$ in (1). Con queste scelte delle funzioni A(t) e B(t) la $y(t_0)=y_0$ equivale a $c = y_0$. Quindi la (2) è l'unica soluzione globale del problema di Cauchy".
Immagino che l'intento sia leggere l'espressione (2) nella "veste" dell'integrale generale. Ma non riesco a capire in che senso "$c$ costante arbitraria al posto di $y_0$": non credo che si intenda di sostituire a $y_0$ la costante $c$, perché non si concilierebbe con la verifica diretta in cui è $c$ ad assumere un valore in funzione di $y_0$...
Grazie mille a eventuali soccorritori
Devo giustificare che la funzione
$ g(t)=y_0e^(int_(t_0)^t a(s)ds)+ e^(int_(t_0)^t a(s)ds)int_(t_0)^t e^(-int_(t_0)^t a(s)ds)b(u)du $ (2)
è soluzione del problema di Cauchy $ { ( y'=a(t)y+b(t) ),( y(t_0)=y_0 ):} $ .
Mediante una verifica diretta mi pare tutto a posto: mi risulta $c = (y_0-e^(A(t_0))B(t_0))/e^(A(t_0))$, dove A(t) è una primitiva di a(t) e B(t) è una primitiva di $e^(-A(t))b(t)$; manipolando un po' i simboli si ricava la (2).
Non mi è chiara, però, la dimostrazione esposta nella dispensa (riporto in bold quello che, in particolare, non capisco):
per il teorema precedente [ndr: l'integrale generale della $y'(t)= a(t)y(t)+b(t)$ è $y = e^A(t)(c + B(t))$ (1)] "il membro destro della formula (2) con $c$ costante arbitraria al posto di $y_0$ dà l'integrale generale $y(t)$ in (1). Con queste scelte delle funzioni A(t) e B(t) la $y(t_0)=y_0$ equivale a $c = y_0$. Quindi la (2) è l'unica soluzione globale del problema di Cauchy".
Immagino che l'intento sia leggere l'espressione (2) nella "veste" dell'integrale generale. Ma non riesco a capire in che senso "$c$ costante arbitraria al posto di $y_0$": non credo che si intenda di sostituire a $y_0$ la costante $c$, perché non si concilierebbe con la verifica diretta in cui è $c$ ad assumere un valore in funzione di $y_0$...
Grazie mille a eventuali soccorritori
Risposte
Se ti interessa capire perchè è quella la formula risolutiva pensa a questo:
Le equazioni lineari del 1° ordine si presentano così:
$y'+a(x)y=b(x)$
allora, noi facciamo sta furbata:
Consideriamo una primitiva di $a(x)$, ossia $A'(x)=a(x)$.
Moltiplichiamo a destra e sinistra per un fattore integrante che ci fa comodo a noi, il quale è $e^{A(x)}$.
$y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)} = b(x)e^{A(x)}$
$[ye^{A(x)}]^{'} = b(x)e^{A(x)}$
(se non ti è chiaro perchè quel membro a sinistra, prova a derivarlo e vedrai che otterrai il membro a sinistra dell'uguaglianza sopra, è proprio per questo che ci faceva comodo quell'esponenziale)
Adesso possiamo integrare a destra e ottenere $ye^{A(x)}$, dal cui si ricava immediatamente $y$ :
$e^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+C$
$y=Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx$
(nota che la variabile di integrazione l'ho chiamata $x$ ma essendo muta possiamo usare anche un'altra lettera.)
Capito da dove arriva?Se vuoi più approfondimenti qui trovi il pdf che ho seguito per dirti da dove arriva la formula e ti consiglio di seguire queste videolezioni (in particolare la 99).
Le equazioni lineari del 1° ordine si presentano così:
$y'+a(x)y=b(x)$
allora, noi facciamo sta furbata:
Consideriamo una primitiva di $a(x)$, ossia $A'(x)=a(x)$.
Moltiplichiamo a destra e sinistra per un fattore integrante che ci fa comodo a noi, il quale è $e^{A(x)}$.
$y'e^{A(x)}+a(x)ye^{A(x)} = b(x)e^{A(x)}$
$[ye^{A(x)}]^{'} = b(x)e^{A(x)}$
(se non ti è chiaro perchè quel membro a sinistra, prova a derivarlo e vedrai che otterrai il membro a sinistra dell'uguaglianza sopra, è proprio per questo che ci faceva comodo quell'esponenziale)
Adesso possiamo integrare a destra e ottenere $ye^{A(x)}$, dal cui si ricava immediatamente $y$ :
$e^{A(x)}=\int b(x)e^{A(x)}dx+C$
$y=Ce^{-A(x)}+e^{-A(x)}\int b(x)e^{A(x)}dx$
(nota che la variabile di integrazione l'ho chiamata $x$ ma essendo muta possiamo usare anche un'altra lettera.)
Capito da dove arriva?Se vuoi più approfondimenti qui trovi il pdf che ho seguito per dirti da dove arriva la formula e ti consiglio di seguire queste videolezioni (in particolare la 99).
Ciao psykomantisita e grazie mille per avere risposto 
In realtà, come ricavare l'espressione dell'integrale generale mi era chiaro. Quello che non capisco sta nelle ultime righe del post (da "per il teorema precedente in poi...), tratte da una dispensa, che danno una giustificazione un po' diversa, o almeno apparentemente diversa, e che inglobano una condizione iniziale: vorrei riuscire a interpretare esattamente quelle righe.
In realtà, come ricavare l'espressione dell'integrale generale mi era chiaro. Quello che non capisco sta nelle ultime righe del post (da "per il teorema precedente in poi...), tratte da una dispensa, che danno una giustificazione un po' diversa, o almeno apparentemente diversa, e che inglobano una condizione iniziale: vorrei riuscire a interpretare esattamente quelle righe.
@jitter: Su queste cose spesso e volentieri i libri di testo non sono chiarissimi e/o prendono qualche abbaglio. IMHO il motivo di ciò è che la teoria delle equazioni differenziali ordinarie si è largamente sviluppata nel XIX secolo, con un linguaggio leggermente diverso da quello attuale. (Tra l'altro i matematici dell'epoca hanno fatto un gran bel lavoro). I libri moderni prendono a prestito cose dai libri vecchi e cercano di barcamenarsi per conciliare il tutto con l'impalcatura matematica che hanno costruito nei paragrafi precedenti.
Comunque a parte queste considerazioni, mi sembra si tratti semplicemente di un refuso. Al posto di $c$ ci va quella roba che hai trovato tu, e non $y_0$, evidentemente. In ogni modo non credo sia il caso di ricordare quella formula. Meglio ricordarsi come si ricava (ad esempio, con il metodo di psykomantista) e rifare i conti volta per volta.
Comunque a parte queste considerazioni, mi sembra si tratti semplicemente di un refuso. Al posto di $c$ ci va quella roba che hai trovato tu, e non $y_0$, evidentemente. In ogni modo non credo sia il caso di ricordare quella formula. Meglio ricordarsi come si ricava (ad esempio, con il metodo di psykomantista) e rifare i conti volta per volta.
"dissonance":
Meglio ricordarsi come si ricava (ad esempio, con il metodo di psykomantista) e rifare i conti volta per volta.
Sicuro
Grazie, ciao!
Riapro un momento la domanda perché, anche se mi trovo indubbiamente meglio con il ragionamento come impostato da psicomantiiska, ho bisogno di capire anche l'impostazione della dispensa per " motivi di esame", altrimenti caput 
. Stavo pensando: è possibile che quel $ c = (y_0-e^(A(t_0))B(t_0))/e^(A(t_0)) $ non sia ancora "un valore", cioè non sia ancora univocamente determinato come costante perché l'espressione contiene delle primitive che possono essere infinite?
Se scelgo come primitive quelle tali che $A(t_0) = 0$ e $B(t_0)=0$, ottengo in effetti $c=y_0$, come dice la dispensa...
. Stavo pensando: è possibile che quel $ c = (y_0-e^(A(t_0))B(t_0))/e^(A(t_0)) $ non sia ancora "un valore", cioè non sia ancora univocamente determinato come costante perché l'espressione contiene delle primitive che possono essere infinite? Se scelgo come primitive quelle tali che $A(t_0) = 0$ e $B(t_0)=0$, ottengo in effetti $c=y_0$, come dice la dispensa...
Va bene. Infatti poi scrive $A(t)=\int_{t_0}^t a(s)\, ds$ e $B(t)=\int_{t_0}^t b(s)\, ds$ che sono proprio le primitive con la proprietà che citi.
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