Chiarimento su definizione di serie numerica (telescopica)
Ciao a tutti, ieri per la prima volta mi sono affacciato al mondo delle serie. Tuttavia credo non mi sia chiara una definizione.
Su alcuni libri trovo la definizione:
$\sum_(n=1)^(+∞) (a_n-a_(n+k))$
il professore l'ha introdotta come
$a_0+\sum_(n=1)^(+∞) (a_n-a_(n-1))$
Credo di aver inteso che quella con n-1 a pedice sia solo un sottocaso della più generale n-k, tuttavia non capisco la questione dell' $a_0$ perché quella sul libro ha un $a_0 $ sottratto ad $a_1$ come primi termini, mentre la seconda definizione che ho riportato avrà necessariamente $a_0+...$ cioè un "più" qualcos'altro.
Infatti espandendo la 1 avrei:
$(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)$ ottenendo $a_4-a_1$
Per la 2:
$a_0+(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=a_3$
Che sono diversi non tanto per il pedice, quanto percé trovo nel primo caso una differenza tra un n-esimo a e un a1, nel secondo un solo termine (senza differenza)!
Non riesco bene a capire la questione, spero in un chiarimento e vi ringrazio tanto.
Su alcuni libri trovo la definizione:
$\sum_(n=1)^(+∞) (a_n-a_(n+k))$
il professore l'ha introdotta come
$a_0+\sum_(n=1)^(+∞) (a_n-a_(n-1))$
Credo di aver inteso che quella con n-1 a pedice sia solo un sottocaso della più generale n-k, tuttavia non capisco la questione dell' $a_0$ perché quella sul libro ha un $a_0 $ sottratto ad $a_1$ come primi termini, mentre la seconda definizione che ho riportato avrà necessariamente $a_0+...$ cioè un "più" qualcos'altro.
Infatti espandendo la 1 avrei:
$(a_1-a_2)+(a_2-a_3)+(a_3-a_4)$ ottenendo $a_4-a_1$
Per la 2:
$a_0+(a_1-a_0)+(a_2-a_1)+(a_3-a_2)=a_3$
Che sono diversi non tanto per il pedice, quanto percé trovo nel primo caso una differenza tra un n-esimo a e un a1, nel secondo un solo termine (senza differenza)!
Non riesco bene a capire la questione, spero in un chiarimento e vi ringrazio tanto.
Risposte
Beh, come dici tu, è questione di definizione... E di gusti.
Per me, ad esempio, la serie telescopica su $(a_n)$ è $sum_(n=0)^oo a_(n+1) - a_n$.
Probabilmente, il tuo docente preferisce cominciare le serie con $n=0$, quindi scrivere $sum_{n=1}^oo a_n - a_(n-1)$ non lo soddidfa... Preferirebbe scrivere $sum_{n=0}^oo a_n - a_(n-1)$, ma sa bene che il simbolo $a_n - a_(n-1)$ per $n=0$ perde di significato (perchè $a_(-1)$ non ha senso).
Allora, per rimediare, fa una cosa che si fa usualmente: prende come addendo $0$-esimo (cioè corrispondente ad $n=0$) il solo termine $a_0$ e lo scrive (per non rovinare l'uniformità della notazione) davanti al simbolo di sommatoria.
In termini più formali, il professore considera come serie telescopica sulla successione $(a_n)$ la serie $sum_(n=0)^oo x_n$ i cui addendi sono definiti come segue:
\[
x_n := \begin{cases} a_0 &\text{, se } n=0\\
a_n - a_{n-1} &\text{, se } n\geq 1\end{cases}\; .
\]
Il testo che hai consultato, invece, generalizza ulteriormente il concetto.
Fissato $k in NN$, considera la serie $sum_(n=0)^oo a_(n+k) - a_n$, la quale ha somme parziali:
\[
\begin{split}
s_0 &= a_k - a_0\\
s_1 &= a_{k+1} - a_1 + s_0\\
&= a_{k+1} - a_1 + a_k - a_0 = a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1\\
s_2 &= a_{k+2} - a_2 + s_1\\
&= a_{k+2} + a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1 - a_2\\
&\vdots\\
s_k &= a_{2k} + a_{2k-1}+\cdots + a_{k+2} + a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1} - a_k\\
&= a_{2k} + a_{2k-1}+\cdots + a_{k+2} + a_{k+1} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
s_{k+1} &= a_{2k+1} - a_{k+1} + s_k\\
&= a_{2k+1}+ a_{2k} + \cdots + a_{k+2} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
&\vdots\\
s_{k+p} &= \underbrace{a_{2k+p} +\cdots + a_{k+p+1}}_{k \text{termini}} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
&\vdots
\end{split}
\]
dunque le somme parziali sono un po' più incasinate.
Tuttavia, cambiando la definizione, il comportamento della serie non cambia: infatti, la serie telescopica su $(a_n)$ ha lo stesso comportamento della successione $(a_n)$ (convergente, divergente, indeterminata).
Ciò che cambia, cambiando la definizione, è la somma della serie:
Per me, ad esempio, la serie telescopica su $(a_n)$ è $sum_(n=0)^oo a_(n+1) - a_n$.
Probabilmente, il tuo docente preferisce cominciare le serie con $n=0$, quindi scrivere $sum_{n=1}^oo a_n - a_(n-1)$ non lo soddidfa... Preferirebbe scrivere $sum_{n=0}^oo a_n - a_(n-1)$, ma sa bene che il simbolo $a_n - a_(n-1)$ per $n=0$ perde di significato (perchè $a_(-1)$ non ha senso).
Allora, per rimediare, fa una cosa che si fa usualmente: prende come addendo $0$-esimo (cioè corrispondente ad $n=0$) il solo termine $a_0$ e lo scrive (per non rovinare l'uniformità della notazione) davanti al simbolo di sommatoria.
In termini più formali, il professore considera come serie telescopica sulla successione $(a_n)$ la serie $sum_(n=0)^oo x_n$ i cui addendi sono definiti come segue:
\[
x_n := \begin{cases} a_0 &\text{, se } n=0\\
a_n - a_{n-1} &\text{, se } n\geq 1\end{cases}\; .
\]
Il testo che hai consultato, invece, generalizza ulteriormente il concetto.
Fissato $k in NN$, considera la serie $sum_(n=0)^oo a_(n+k) - a_n$, la quale ha somme parziali:
\[
\begin{split}
s_0 &= a_k - a_0\\
s_1 &= a_{k+1} - a_1 + s_0\\
&= a_{k+1} - a_1 + a_k - a_0 = a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1\\
s_2 &= a_{k+2} - a_2 + s_1\\
&= a_{k+2} + a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1 - a_2\\
&\vdots\\
s_k &= a_{2k} + a_{2k-1}+\cdots + a_{k+2} + a_{k+1} + a_k - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1} - a_k\\
&= a_{2k} + a_{2k-1}+\cdots + a_{k+2} + a_{k+1} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
s_{k+1} &= a_{2k+1} - a_{k+1} + s_k\\
&= a_{2k+1}+ a_{2k} + \cdots + a_{k+2} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
&\vdots\\
s_{k+p} &= \underbrace{a_{2k+p} +\cdots + a_{k+p+1}}_{k \text{termini}} - a_0 - a_1 - a_2 -\cdots - a_{k-1}\\
&\vdots
\end{split}
\]
dunque le somme parziali sono un po' più incasinate.
Tuttavia, cambiando la definizione, il comportamento della serie non cambia: infatti, la serie telescopica su $(a_n)$ ha lo stesso comportamento della successione $(a_n)$ (convergente, divergente, indeterminata).
Ciò che cambia, cambiando la definizione, è la somma della serie:
- [*:3atay8i7] con la "mia" definizione o con $sum_(n=1)^oo a_n - a_(n-1)$, la somma della serie telescopica è $s=\lim_n a_n - a_0$;
[/*:m:3atay8i7]
[*:3atay8i7] con la definizione del professore la somma è $s=\lim_n a_n$;
[/*:m:3atay8i7]
[*:3atay8i7] con quella del testo, la somma è $s = k lim_n a_n - (a_0+a_1+\cdots +a_(k-1))$.[/*:m:3atay8i7][/list:u:3atay8i7]
Più chiaro?
La mia domanda che mi resta dopo la bella spiegazione è che mi pare di avere quindi serie diverse, voglio dire, con una definizione non posso comprendere l'altra e viceversa, infatti han tutte somme diverse a conti fatti.
Dunque non capisco perchéciascuno dia una definizione diversa, sarebbero da dare tutte, o mi sfugge qualcosa e ogni scrittura comprende l'altra?
Grazie gugo82
Dunque non capisco perchéciascuno dia una definizione diversa, sarebbero da dare tutte, o mi sfugge qualcosa e ogni scrittura comprende l'altra?
Grazie gugo82
Come sempre in Matematica, la definizione è questione di gusti dell'autore e dell'utilizzo che l'autore vuole fare dell'oggetto definito all'interno del testo.
Non c'è da preoccuparsi.
Non c'è da preoccuparsi.
Grazie, procederò nello studio fiducioso.
Ti auguro una buona giornata e buon lavoro
Ti auguro una buona giornata e buon lavoro
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