Chiarimento su convergenza uniforme successioni di funzioni

[zipangulu]

Ho un dubbio sulla convergenza uniforme delle successioni di funzioni,esempio:
ho la successione di funzioni
$f_n(x):I->|R$
e ho che:
$lim_(n->+oo)f_n(x)=f(x)$
posso dire che la successione di funzioni $f_n(x)$ converge uniformemente a $f(x)$ se la $f(x)$ è un numero reale?cioè indipendente(non compare) la x?
o c'è da dire qualcos'altro?è sbagliato ciò che ho detto sopra?

[bartofra]

Si direi che è proprio sbagliato. E' un po lunga da spiegare però....

[zipangulu]

però (correggimi se sbaglio) posso dire che una successione di funzioni converge uniformemente ad una $f(x)$ se tale convergenza avviene per qualsiasi valore viene assegnato alla x
su questo sbaglio?
ad esempio:
$f_n(x)=x^n$
non converge uniformemente,in quanto:
$lim_(n->+oo) x^n={(0" per "|x|<1),(1" per "x=1),(+oo" per "x>1),("non esiste per " x<=-1):}$

[j18eos]

Ti posso fare un esempio in cui non è vero: [tex]\{f_n:\forall x\in[0;1)\rightarrow\dot\exists x^n\in\mathbb{R}_+\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] essa converge solo puntualmente alla funzione nulla in [tex][0;1)[/tex] ma ivi non è uniformemente convergente. Per completezza è uniformemente convergente in ogni suo sottointervallo chiuso, ovvero è uniformemente convergente in [tex][0;h][/tex] con [tex]0
EDIT: Ho pubblicato dopo il tuo post zipangulu!

[zipangulu]

"j18eos":Ti posso fare un esempio in cui non è vero: [tex]\{f_n:\forall x\in[0;1)\rightarrow\dot\exists x^n\in\mathbb{R}_+\}_{n\in\mathbb{N}}[/tex] essa converge solo puntualmente alla funzione nulla in [tex][0;1)[/tex] ma ivi non è uniformemente convergente. Per completezza è uniformemente convergente in ogni suo sottointervallo chiuso, ovvero è uniformemente convergente in [tex][0;h][/tex] con [tex]0

in pratica quello che ho appena detto...o no?leggi il messaggio precedente alla tua risosta

[j18eos]

Non proprio, ignori la uniforme convergenza di tale successione in [tex][0;h][/tex] con [tex]1>h>0[/tex].

[zipangulu]

ma scusami non convergono a zero anche numeri (nella formula di prima,$x^n$) nell'intervallo $-1
si certo che si può trovare un intervallo (interno + piccolo) in cui converge uniformemente ci sono,ho capito

[j18eos]

Io ho fatto questa ipotesi [tex]0\leq x<1[/tex] e t'ho detto quello che succede. Supponendo che [tex]-1

Cita

Segnala

[zipangulu]

Ho capito quello che dici,ma solo una cosa:
perchè tra $-1

Cita

Segnala

[j18eos]

Questo non l'ho detto! Il punto è che non te lo so dire a schiocco di dita; dovrei fare i conti ma data l'ora...

L'importante è averti fornito una successione di funzioni puntualmente convergente ad una funzione costante (in questo caso alla funzione nulla) ma non uniformemente; vedi sempre il mio primo posto!

[zipangulu]

ok,chiarito!
grazie 1000!

[j18eos]

Prego

[gugo82]

Altro esempio.

Per [tex]$n\in \mathbb{N}$[/tex] ed [tex]$n\geq 2$[/tex] si pone:

[tex]$f_n(x):=n(1-|nx-1|)^+=\begin{cases} n(1-|nx-1|) &\text{, se $0\leq x\leq \frac{2}{n}$} \\ 0 &\text{, se $\frac{2}{n} < x\leq 1$}\end{cases}$[/tex];

ogni [tex]$f_n$[/tex] ha un grafico del tipo:

[asvg]xmin=0;xmax=2;ymin=0;ymax=6;
axes("","");
stroke="red"; plot("6*(1-abs(6*x-1))",0,0.333); plot("0",0.333,1);[/asvg]
(in questo caso s'è preso [tex]$n=6$[/tex]).

Evidentemente la successione converge puntualmente alla funzione [tex]$f(x):=0$[/tex] in [tex]$[0,1]$[/tex]*, però la convergenza non è uniforme in quanto, risultando:

$[tex]\lVert f_n-f\rVert_\infty :=\max_{x\in [0,1]} |f_n(x)-f(x)| =\max_{x\in [0,1]} f_n(x) =f_n (\tfrac{1}{n})=n$[/tex],

si ha [tex]$\lim_n \lVert f_n-f\rVert_\infty =\lim_n n=+\infty \neq 0$[/tex].


__________
* Invero, [tex]$f_n(0)=0$[/tex] per ogni [tex]$n$[/tex], quindi [tex]$f(0):=\lim_n f_n(0)=0$[/tex]; d'altra parte, se [tex]$x\in ]0,1]$[/tex], allora esiste un [tex]$\nu \in \mathbb{N}$[/tex] tale che [tex]$\forall n>\nu$[/tex] si ha [tex]$x>\tfrac{1}{n}$[/tex], sicché [tex]$f_n(x)=0$[/tex] per [tex]$n>\nu$[/tex] e da ciò segue [tex]$f(x):=\lim_n f_n(x)=0$[/tex].