Chiarimento su Classi contigue
Buongiorno, data la seguente spiegazione inerente alla classi contigue, vorrei capire il significato della parte sottolineata ed in che modo si lega al concetto di classe contigua. Grazie mille per il vostro aiuto.
Risposte
Cosa non ti è chiaro?
"gugo82":
Cosa non ti è chiaro?
Cosa vuol dire e cosa comporta che inf(B-A)=0 ? Forse vuol dire che inf(A)=inf(B) ? E non capisco come si lega al concetto di classe contigua. Andrebbe bene anche un esempio. Grazie mille.
Guarda che nel testo c'è scritto cos'è $B-A$: è un insieme.
Dunque \(\displaystyle \inf (B-A) \) è l'estremo inferiore di quell'insieme.
Dunque \(\displaystyle \inf (B-A) \) è l'estremo inferiore di quell'insieme.
Un esempio?
$A={x in RR^+ |x^2<2} $ e $B={x in RR^+ |x^2>2}$
In tal caso il $SupA= sqrt2$ e così anche $Inf B=sqrt2$, ne segue che $Inf(B-A)=0$. La coppia di classi contigue è $(A,B)$ e l'elemento separatore è $sqrt2$
Più interessante ancora è prendere $A={x in QQ^+ |x^2<2} $ e $B={x in QQ^+ |x^2>2}$, in questo modo l'elemento separatore $sqrt2$ permette di osservare che l'insieme $QQ$ non è continuo e introduce l'insieme degli irrazionali per completare la retta reale.
$A={x in RR^+ |x^2<2} $ e $B={x in RR^+ |x^2>2}$
In tal caso il $SupA= sqrt2$ e così anche $Inf B=sqrt2$, ne segue che $Inf(B-A)=0$. La coppia di classi contigue è $(A,B)$ e l'elemento separatore è $sqrt2$
Più interessante ancora è prendere $A={x in QQ^+ |x^2<2} $ e $B={x in QQ^+ |x^2>2}$, in questo modo l'elemento separatore $sqrt2$ permette di osservare che l'insieme $QQ$ non è continuo e introduce l'insieme degli irrazionali per completare la retta reale.
"Cleo97":
[quote="gugo82"]Cosa non ti è chiaro?
Cosa vuol dire e cosa comporta che inf(B-A)=0 ?[/quote]
Questo l’ha spiegato Ianero: è l’estremo inferiore dell’insieme $B-A$ definito poco prima.
"Cleo97":
Forse vuol dire che inf(A)=inf(B) ?
Questo è un po’ difficile: infatti, come la metti se la classe dei minoranti $A$ non è limitata inferiormente?
"Cleo97":
E non capisco come si lega al concetto di classe contigua. Andrebbe bene anche un esempio.
Perché, invece, non provi ad elaborare un controesempio?
Tanto per dire, visto che non è difficile, prendi $A=\{a in ZZ: a<0\}$ e $ B=\{b in ZZ: b>0\}$.
Le classi sono separate? Perché?
Ti sembrano contigue? Perché?
Com’è fatto l’insieme $B-A$? È limitato inferiormente? Da chi?
Poi, prova a fare lo stesso esempio, con le classi $A,B$ definite mediante le stesse disuguaglianze ma con $a,bin RR$.
Le cose cambiano? Che cosa cambia?
Che conclusione puoi trarne?
Poi dimostra il teorema enunciato nel libro, che ora dovrebbe avere un significato più chiaro (si spera).
Potresti anche provare che se $AleqB$ allora $i n f(B-A)=i n fB - s u pA$
"anto_zoolander":
Potresti anche provare che se $AleqB$ allora $i n f(B-A)=i n fB - s u pA$
Dai @Cleo97, che tra poco si arriva all'equivalenza tra assioma di completezza e teorema di Dedekind
Dai è molto importante questo 
l'ho usato molto per la condizione equivalente di integrabilità.
l'ho usato molto per la condizione equivalente di integrabilità.
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