Chiarimento soluzioni globali e massimali

[anto84gr-votailprof]

Ciao ragazzi ho questa equazione:

$ x'=3x^(2/3) $

L'ho risolta ed ottenuto le soluzioni $ x -= 0 $ e $ x =(t+k)^3 $

Ho fatto il grafico

e quello che io penso sul carattere delle soluzioni è che le mie soluzioni sono globali in quanto definite su tutto l'intervallo mentre non sono massimali perchè non posso prolungarle oltre.

E' giusto?

[dissonance]

Errori: 1) Non hai trovato tutte le soluzioni, ne mancano delle altre. Osserva che questa equazione differenziale non verifica un teorema di esistenza e unicità;
2) Cosa vuol dire "soluzione massimale"? Mi sa che non hai chiara questa definizione. Se una soluzione è definita su tutto $RR$ non può non essere massimale.

[anto84gr-votailprof]

Non sono tutte le soluzioni però ho solo disegnato $ x = t^3 $ , $ x = (t+1)^3 $ e $ x = (t-1)^3 $ poi ci sono le altre sostituendo k. E poi $ x -= 0 $

A me hanno detto che le soluzioni massimali sono quelle che non ammettono nessun prolungamento proprio...opps scusa ho scritto il contrario prima....quindi le soluzioni sono massimali e dato le soluzioni sono definite in tutto l'intervallo allora sono anche globali

[gugo82]

"anto84gr":Non sono tutte le soluzioni però ho solo disegnato $ x = t^3 $ , $ x = (t+1)^3 $ e $ x = (t-1)^3 $ poi ci sono le altre sostituendo k. E poi $ x -= 0 $

Dissonance voleva dire altro... Ad esempio, segnalarti funzioni come:

[tex]$x(t):=\begin{cases} 0 &\text{, se $t\leq 0$} \\ t^3 &\text{, se $t\geq 0$} \end{cases}$[/tex],

le quali sono abbastanza interessanti, non trovi?

[dissonance]

Ok per le soluzioni massimali. Ma mancano molte soluzioni non nel disegno, proprio nelle espressioni che hai fornito tu analiticamente. Per esempio, prendi la funzione ${(0, t<0), (t^3, t>=0):}$. Questa è una soluzione dell'equazione differenziale che tu non hai contemplato. Più in generale devi aggiungere tutte le soluzioni ottenute "incollando" tratti delle soluzioni fornite da te: è un fenomeno tipico delle equazioni differenziali che non verificano teoremi di esistenza e unicità. Vedi https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#435882 e il link ivi contenuto.

P.S.: Ovviamente scrivevo contemporaneamente a Gugo. Ultimamente ci intendiamo, vedo!

[anto84gr-votailprof]

Non capisco ragazzi. Al corso ci hanno fatto trovare le soluzioni risolvendo le equazioni. Abbiamo trovato le soluzioni banali e non e poi ci facevano disegnare il grafico. Questo è un esempio del prof!!!

[anto84gr-votailprof]

Un altro esempio è questo:

$ x'=-2tx^2 $ che ha come soluzioni $ x-=0 $ e $ x=1/(t^2+k) $

grafico

dove per $ k<0 $ ho soluzioni massimali (in particolare per $k=-1$ ho 3 soluzioni massimali definite in tre intervalli diversi), per $ k>0 $ ho soluzioni massimali e per $k=0$ ho due soluzioni massimali definite in due intervalli

[dissonance]

Questo va bene, quello di prima è incompleto come dicevamo io e Gugo. Cosa studi? I teoremi di esistenza e unicità li avete fatti?

[anto84gr-votailprof]

Si li abbiamo fatti ma quel'esercizio è sempre rimasto così. Come dovrebbe essere? Me lo spiegate per favore?

[j18eos]

Ti posso suggerire il II capitolo di queste magnifiche dispense del professor Massimiliano Berti.

[gugo82]

@anto84gr: Per favore cerca di evitare di caricare direttamente immagini così grandi; usa un link (come ho fatto io, ripulendo i tuoi post), oppure dei thumbnail.

@dissonance:

"dissonance":scrivevo contemporaneamente a Gugo. Ultimamente ci intendiamo, vedo!

Come sempre, vecchio mio.