Chiarimento serie di Laurent
Allora ragazzi avrei bisogno del vostro aiuto per riuscire a comprendere degli esercizi sulla serie di Laurent, vi posto un esempio per capire dove sono i miei dubbi:
Data la funzione $ f(z)= 1/((z-1)(z-2))$ cercare lo sviluppo di Laurent centrato in $z_0=0$ delle seguenti regioni :$ A= |z|<1$ $ B= 1<|z|<2$ $ C= |z|>2$.
Allora io ho capito che il primo passo da fare è riscrivere la funzione in fratti semplici quindi:
$f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)$ le singolarità sono $2$ e $1$
Ora in A la funzione è analitica giusto? mi spiegate bene il perchè? e ancora siccome è analitica mi comporto così:
$f(z)= -1/2*1/(1-(z/2))+1/(1-z)= sum_{n=0}^infty (1-1/2^(n+1))z^n$
In B(corona circolare) e in C(regione esterna alla circonferenza di raggio 2) invece come mi comporto? Non è più analitica per quale motivo?
Ho visto da altri esercizi che in B dovrei raccogliere un $1/z$ al secondo membro ma non riesco a capire bene la motivazione
In pratica non riesco a capire come comportarmi nelle varie regioni e perchè.
Grazie mille in anticipo
Data la funzione $ f(z)= 1/((z-1)(z-2))$ cercare lo sviluppo di Laurent centrato in $z_0=0$ delle seguenti regioni :$ A= |z|<1$ $ B= 1<|z|<2$ $ C= |z|>2$.
Allora io ho capito che il primo passo da fare è riscrivere la funzione in fratti semplici quindi:
$f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)$ le singolarità sono $2$ e $1$
Ora in A la funzione è analitica giusto? mi spiegate bene il perchè? e ancora siccome è analitica mi comporto così:
$f(z)= -1/2*1/(1-(z/2))+1/(1-z)= sum_{n=0}^infty (1-1/2^(n+1))z^n$
In B(corona circolare) e in C(regione esterna alla circonferenza di raggio 2) invece come mi comporto? Non è più analitica per quale motivo?
Ho visto da altri esercizi che in B dovrei raccogliere un $1/z$ al secondo membro ma non riesco a capire bene la motivazione
In pratica non riesco a capire come comportarmi nelle varie regioni e perchè.
Grazie mille in anticipo
Risposte
Allora ragazzi nessuno può darmi una piccola dritta.So che è passato un solo giorno ma ne avrei davvero bisogno. Ovviamente non mi interessa più di tanto la risoluzione dell'esercizio che in fondo per analogia con altri già conosco ma capire come procedere sul piano pratico e perchè in questa tipologia di esercizi!
vediamo un po' se riesco ad esserti utile:
la formula di base per questi essercizi è $1/(1-x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^k$ per $|x|<1$.
supponiamo di avere $1/(z-a)$ e di voler studiare lo sviluppo centrato in zero:
I) $|z|<|a|$
è $1/(z-a)=-1/a * 1/(1-(z/a))$ e applicando la formula con $x=z/a$ si ottiene $\sum_{k=0}^{\infty} -a^{-n-1}z^n$
II) $|z|>|a|$
in questo caso modulo di $z/a$ non è più minore di 1, però: posto $w=a/z$ si ottiene:
$-1/a * 1/(1-w^{-1})=-1/a * w/(w-1)=1/a * w(1/(1-w))=1/a * w * \sum_{k=0}^{\infty} w^k$, formula valida perchè in questo caso modulo di w è minore di 1.
poi basta risostituire $w=a/z$.
prova un po'...............saluti!
holmes
Nel tuo caso, sviluppi i due termini per proprio conto e poi sommi, però devi tenere d'occhio i domini dove le ipotesi coincidono.
Per esempio il termine $1/(z-1)$ si sviluppa in un certo modo per $|z|>1$, mentre nella stessa regione $1/(z-2)$ ha due sviluppi!
la formula di base per questi essercizi è $1/(1-x)=\sum_{k=0}^{\infty} x^k$ per $|x|<1$.
supponiamo di avere $1/(z-a)$ e di voler studiare lo sviluppo centrato in zero:
I) $|z|<|a|$
è $1/(z-a)=-1/a * 1/(1-(z/a))$ e applicando la formula con $x=z/a$ si ottiene $\sum_{k=0}^{\infty} -a^{-n-1}z^n$
II) $|z|>|a|$
in questo caso modulo di $z/a$ non è più minore di 1, però: posto $w=a/z$ si ottiene:
$-1/a * 1/(1-w^{-1})=-1/a * w/(w-1)=1/a * w(1/(1-w))=1/a * w * \sum_{k=0}^{\infty} w^k$, formula valida perchè in questo caso modulo di w è minore di 1.
poi basta risostituire $w=a/z$.
prova un po'...............saluti!
holmes
Nel tuo caso, sviluppi i due termini per proprio conto e poi sommi, però devi tenere d'occhio i domini dove le ipotesi coincidono.
Per esempio il termine $1/(z-1)$ si sviluppa in un certo modo per $|z|>1$, mentre nella stessa regione $1/(z-2)$ ha due sviluppi!
Non capisco le secondo passaggio(II) cosa intendi per il modulo di $z/a$ non è più minore di 1 in che senso? perchè dovrebbe rispettare questa condizione?
Grazie mille per la risposta!
Grazie mille per la risposta!
$|z|>|a| => |z|/|a|=|z/a|>1$, e la formula "base" vale quando $x=z/a$ è di modulo minore di 1.
Allora vi posto una mia soluzione commentata per capire se oltre al risultato è giusto anche quello che penso:
1) scrivo la $f(z)$ in fratti semplici $f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)$ le singolarità che poi sono i punti di non analiticità sono $1$ e $2$
2) Analizzo il primo dominio $A={z: |z|<1}$ che sarebbe la circonferenza centrata nell'origine di raggio $1$, qui non ho problemi visto che i punti "problematici" sono esterni al dominio che sto analizzando pertanto procedo tranquillamente:
$f(z)=-1/2*1/(1-(z/2))+1/(1-z)= sum(1-1/(2^(n+1)))z^n$
Essendo la funzione analitica in A quello ottenuto è un semplice sviluppo di Maclaurin. La funzione è anlitica in A perchè i punti di singolarità sono esterni al cerchio di raggio 1?
3) Analizzo il secondo dominio $B={z:1<|z|<2}$ che sarebbe la corona circolare tra le due circonferenze di raggio $1$ e $2$ centrate nell'origine, qui a quello che ho capito il punto 1 da problemi in quanto interno al dominio, quindi la funzione in quel punto non è analitica pertanto per quanto scritto da holmes applico una sostituizione e trovo:
$f(z)=-1/2*1/(1-(z/2)) - 1/z*1/(1-(1/z))=-1/2*\sum_{n=0}^infty z^n/2^n - 1/z*\sum_{n=0}^infty 1/z^n = \sum_{n=0}^infty (-1/2^(n+1))z^n +\sum_{n=1}^infty -1/z^n$
Ora da qui come faccio a dire quali sono i coefficienti $c_n$ cioè so che sono $-1/2^(n+1)$ e $-1$ ma per quali n?
4)Analizzo il terzo dominio $C={z: |z|>2}$ cioè la regione di piano esterna alla circonferenza di raggio 2, in questo caso come mi comporto il punto problematico non dovrebbe essere solo il 2 perchè il mio libro raccoglie un $1/z$ da entrambi gli addendi?
Spero di non aver detto solo cavolate....
Grazie a chiunque sia così buono da spiegarmi cosa mi manca per capire definitivamente!
1) scrivo la $f(z)$ in fratti semplici $f(z)=1/(z-2)-1/(z-1)$ le singolarità che poi sono i punti di non analiticità sono $1$ e $2$
2) Analizzo il primo dominio $A={z: |z|<1}$ che sarebbe la circonferenza centrata nell'origine di raggio $1$, qui non ho problemi visto che i punti "problematici" sono esterni al dominio che sto analizzando pertanto procedo tranquillamente:
$f(z)=-1/2*1/(1-(z/2))+1/(1-z)= sum(1-1/(2^(n+1)))z^n$
Essendo la funzione analitica in A quello ottenuto è un semplice sviluppo di Maclaurin. La funzione è anlitica in A perchè i punti di singolarità sono esterni al cerchio di raggio 1?
3) Analizzo il secondo dominio $B={z:1<|z|<2}$ che sarebbe la corona circolare tra le due circonferenze di raggio $1$ e $2$ centrate nell'origine, qui a quello che ho capito il punto 1 da problemi in quanto interno al dominio, quindi la funzione in quel punto non è analitica pertanto per quanto scritto da holmes applico una sostituizione e trovo:
$f(z)=-1/2*1/(1-(z/2)) - 1/z*1/(1-(1/z))=-1/2*\sum_{n=0}^infty z^n/2^n - 1/z*\sum_{n=0}^infty 1/z^n = \sum_{n=0}^infty (-1/2^(n+1))z^n +\sum_{n=1}^infty -1/z^n$
Ora da qui come faccio a dire quali sono i coefficienti $c_n$ cioè so che sono $-1/2^(n+1)$ e $-1$ ma per quali n?
4)Analizzo il terzo dominio $C={z: |z|>2}$ cioè la regione di piano esterna alla circonferenza di raggio 2, in questo caso come mi comporto il punto problematico non dovrebbe essere solo il 2 perchè il mio libro raccoglie un $1/z$ da entrambi gli addendi?
Spero di non aver detto solo cavolate....
Grazie a chiunque sia così buono da spiegarmi cosa mi manca per capire definitivamente!
..........ti viene per $|z|>2$
$1/z \sum (2^n -1)/(z^n)$????
$1/z \sum (2^n -1)/(z^n)$????
"holmes":
..........ti viene per $|z|>2$
$1/z \sum (2^n -1)/(z^n)$????
Allora il terzo caso quello con il dominio $|z|>2$ io non riesco a farlo ma ho la soluzione del libro che è la stessa tua è cioè $\sum (2^n -1)/(z^(n+1))$ che ho capito essere ottenuta raggiungendo un $1/z$ ad entrambi gli addendi della scomposizione in fratti semplici della funzione.
Ora quello che non capisco per |z|>2 perchè raccoglie $1/z$ in entrambi? non è $2$ la singolarità che rientra nel dominio C di studio?
grazie
allora:
per $|z|<1$ i due termini non presentano singolarità e in particolare se $|z|<1=>|z|<2$, quindi entrambi i termini verifica le condizioni di sviluppo indicate in I), nel post precedente.(nota che infatti viene uno sviluppo coincidente con quello di taylor)
poi mi pare che per $1<|z|<2$ hai visto che uno dei due termini cambia sviluppo,($1/(1-z)$ usa lo sviluppo in II), perche $|z|>1$), mentre l'altro termine resta con lo stesso sviluppo perchè il dominio è contenuto in $|z|<2$.(nota che la corona avvolge un punto singolare, z=1)
per $|z|>2$ entrambi i termini presentano uno sviluppo di tipo II), e quindi ti viene il risultato,$|z|>2>1$.(nota questo sviluppo dipende da tutte e due le singolarità)
Quel fattore $1/z$ proviene dalla formula sopra ed è quel $w$ davanti la sommatoria, e quel termine c'è per entrambi i termini, ecco perchè si mette in evidenza.
per $|z|<1$ i due termini non presentano singolarità e in particolare se $|z|<1=>|z|<2$, quindi entrambi i termini verifica le condizioni di sviluppo indicate in I), nel post precedente.(nota che infatti viene uno sviluppo coincidente con quello di taylor)
poi mi pare che per $1<|z|<2$ hai visto che uno dei due termini cambia sviluppo,($1/(1-z)$ usa lo sviluppo in II), perche $|z|>1$), mentre l'altro termine resta con lo stesso sviluppo perchè il dominio è contenuto in $|z|<2$.(nota che la corona avvolge un punto singolare, z=1)
per $|z|>2$ entrambi i termini presentano uno sviluppo di tipo II), e quindi ti viene il risultato,$|z|>2>1$.(nota questo sviluppo dipende da tutte e due le singolarità)
Quel fattore $1/z$ proviene dalla formula sopra ed è quel $w$ davanti la sommatoria, e quel termine c'è per entrambi i termini, ecco perchè si mette in evidenza.
ahh!
per i coeff. tu hai che la serie si scrive in generale con $\sum_{n in ZZ} a_{n}z^{n}$ , nel dominio intermedio ti vengono $-1/(2^(n+1))=a_{n}$, per gli n non negativi e $a_{n}=-1$ per gli n negativi.
.......saluti! ..............holmes!
per i coeff. tu hai che la serie si scrive in generale con $\sum_{n in ZZ} a_{n}z^{n}$ , nel dominio intermedio ti vengono $-1/(2^(n+1))=a_{n}$, per gli n non negativi e $a_{n}=-1$ per gli n negativi.
.......saluti! ..............holmes!
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