Chiarimento relazione derivate direzionali differenziabilità

[Sk_Anonymous]

Ciao a tutti,

ho questo esercizio: https://www.dropbox.com/s/3yu5bhi9fojjri7/diff.png

non capisco una cosa, credo fondamentale: se una f non è differenziabile in un punto, non dovrebbero esistere le derivate direzionali nel punto stesso, giusto? Eppure qui dice che esistono...
Inoltre: come mai le derivate direzionali sono uguali, in questo caso, al limite scritto? Provo a rispondere: in quanto il differenziale è uguale alle derivate + o piccolo che corrisponde all'errore che si commette valutando l'incremento lungo il piano tangente?

Grazie

[qasw1]

"Suv":se una f non è differenziabile in un punto, non dovrebbero esistere le derivate direzionali nel punto stesso, giusto?

No, non è vero. Una $f$ può avere tutte le derivate direzionali in un punto $p_0$, eppure non essere ivi differenziabile. Questo può accadere se il punto $p_0$ non soddisfa tutte le ipotesi del Teorema del differenziale totale, che recita: "Sia $f:Omega(subseteq mathbb(R)^n)\rightarrow mathbb(R)$, con $Omega$ aperto, e sia $p_0 in Omega$. Se esiste un intorno di $p_0$ in cui esistono continue tutte le $n$ derivate parziali, allora $f$ è differenziabile in $p_0$".

Ad esempio, consideriamo il punto $P(0,1)$ del tuo esercizio.
$P$ non possiede alcun intorno nel quale esistano tutte e due le derivate parziali: infatti qualsiasi intorno di $P$ contiene infiniti punti delle rette $x=0$ e $y=1$, e sulla retta $x=0$ non esiste la $(delf)/(delx)$ (eccetto che in $P$), mentre sulla retta $y=1$ non esiste la $(delf)/(dely)$ (eccetto che in $P$).
Quindi $P$ non soddisfa le ipotesi del Teorema del differenziale totale e perciò non sappiamo a priori se $f$ è differenziabile in $P$.

"Suv":come mai le derivate direzionali sono uguali, in questo caso, al limite scritto?

Il limite scritto non è una derivata direzionale.

Facciamo un passo indietro: tu sai che una funzione $f(x,y)$ è differenziabile in un punto $(x,y) in mathbb(R)^2$ se e solo se $forall (h,k) in mathbb(R)^2$ si ha, per $(h,k)\rightarrow(0,0)$:
$f(x+h,y+k)-f(x,y)=nabla f(x,y) cdot (h,k) + o(||(h,k)||)$, ovvero
$f(x+h,y+k) - f(x,y) = (delf)/(delx)(x,y) cdot h + (delf)/(dely)(x,y) cdot k + o(sqrt(h^2+k^2))$, perciò
$f(x+h,y+k) - f(x,y) - (delf)/(delx)(x,y) cdot h - (delf)/(dely)(x,y) cdot k = o(sqrt(h^2+k^2))$
Quindi il termine di sinistra è o piccolo di $sqrt(h^2+k^2)$. Questo vuol dire che:
$lim_((h,k)\rightarrow(0,0))(f(x+h,y+k) - f(x,y) - (delf)/(delx)(x,y) cdot h - (delf)/(dely)(x,y) cdot k)/sqrt(h^2+k^2) = 0$

Riassumendo, $f$ è differenziabile in $(x,y)$ se e solo se
$lim_((h,k)\rightarrow(0,0))(f(x+h,y+k) - f(x,y) - (delf)/(delx)(x,y) cdot h - (delf)/(dely)(x,y) cdot k)/sqrt(h^2+k^2) = 0$

L'autore del documento linkato voleva verificare se $f$ è differenziabile in $P(0,1)$ oppure no. Perciò ha calcolato il suddetto limite con $(x,y)=(0,1)$. Se il limite fosse venuto $0$, avrebbe concluso che $f$ è differenziabile in $P$. Ma il limite è venuto $\ne0$, e questo vuol dire che $f$ non è differenziabile in $P(0,1)$.

[Sk_Anonymous]

una sola parola: grazie.

[qasw1]

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