Chiarimento "coordinate cilindriche"

[mikelozzo]

Ciao ragazzi



il mio esercizio chiede:

scrivere l'equazione della superficie ottenuta facendo ruotare il quadrato (pieno) con vertici A(1,0) , B(2,0) , C(2,1) , D(1,1) del piano (r,z) con $r>=0$ attorno all'asse z (in coordinate cilindriche).

ora dato che il solido di rotazione è chiaramente un cilindro cavo (di un altro cilindro piu piccolo) e $1<=r<=2$ con $t=1$ non riesco a capire come trovare "theta"...

se "theta" è appunto l'angolo tra l'asse x ed il raggio r come lo trovo? La formula dice $arctan(y/x)$ ma qui non mi pare di avere degli $x,y$ singoli.. come faccio a scegliere? sbaglio?

grazie come sempre per le dritte

[ciampax]

Il quadrato si trova nel piano $rOz$ in coordinate cilindriche: questo vuol dire che la prima coordinata di $A$, ad esempio, è pari a $r=1$: se ci pensi un attimo, capirai che il quadrato si trova su un piano (qualsiasi) perpendicolare al piano $xOy$ e quindi la figura che genera ruotando attorno all'asse $z$ è una sorta di "cilindro cavo" ottenuto dal cilndro di raggio $r=2$ a cui si è sottratto quello di raggio $r=1$. Ovviamente [tex]$\theta\in[0,2\pi]$[/tex] poiché stai effettuando una rotazione completa attorno all'asse z.

[mikelozzo]

si ..fin qui mi era già chiaro..
il mio dubbio consiste nel trovare la misura dell'angolo preciso .. o non è indispensabile?

[ciampax]

Forse non mi sono spiegato: tu parli di $(x,y)$ come coordinate da usare: invece il testo dell'esercizio ti dice che hai già effettuato il cambiamento di coordinate in $(\rho,\theta,z)$: per cui tutto il ragionamento che fai è inutile! Ti basta dire che $\theta\in[0,2\pi]$. Chiaro adesso?

[mikelozzo]

quindi l'equazione della superficie (in coordinate cilindriche) è semplicemente:

$\{(1<=r<=2),(theta\in\[0,2pi]),(t=1):}$ ?

[ciampax]

Certo.

[mikelozzo]

aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa OK... e io che mi andavo a scimunire con l'angolo preciso xD
grazie!