Chiarimento punti di accumulazione

[ElCastigador]

Avrei alcune domande da porre sui punti di accumulazione:

-Per un sottoinsieme illimitato superiormente di R,+oo è sempre punto di accumulazione?Se non lo è sempre,in quali casi non lo è?

-Vale lo stesso in N,Z,Q?Se no perchè?

Grazie mille

[Frink1]

Sia $A$ un sottoinsieme non limitato superiormente di $RR$. Allora $AAL in RR$ $EE x in RR|x>=L$ (o wlog anche $x>L$).

Dimostriamo che $+oo$ è punto di accumulazione (P.A.) per $A$. Applichiamo la definizione di P.A. a $+oo$: deve valere che $AA M in RR$ $EE y in RR|y>=M$. Di qui segue banalmente la conclusione.

[ElCastigador]

Ma per dimostrare che +oo è P.A non devo ragionare sugli intorni?Per esempio:

Il derivato di $ {a^n:nin N} $ per ogni a in (1,+oo) comprende come P.A +oo?

Davvero non capisco come applicare la definizione su +oo e -oo

[Frink1]

"Frink": $ AA M in RR $ $ EE y in RR|y>=M $.

Un intorno di più infinito è una qualsiasi semiretta del tipo $(a,+oo)|a in RR$. Detto questo, controlla la dimostrazione e trai le conclusioni.

"ElCastigador":${a^n:n in NN,a in (1,+oo) }$

E' limitato superiormente? Siccome non lo è, usi quanto detto sopra e quindi sì, $+oo$ è punto di accumulazione per questo insieme.

[ElCastigador]

Quindi,in pratica,seguendo la definizione che mi hai dato,tutti gli insiemi illimitati superiormente(inferiormente) hanno sempre come P.A. +oo(-oo)?