Chiarimento notazione integrale
Salve
se ho un'espressione di questo tipo
\(d^2s=a\,dt^2\)
come faccio a scrivere l'equazione in funzione di s?
Deduco che dovrei integrare da entrambe le parti e so che il dx all'interno dell'integrale è riferito alla variabile rispetto alla quale si integra ma quando il d viene elevato al quadrato non riesco a capire cosa possa voler dire.
La formula che ho usato è semplicemente la legge oraria
\(v={ds\over dt};\quad a={dv\over dt}\)
se ho un'espressione di questo tipo
\(d^2s=a\,dt^2\)
come faccio a scrivere l'equazione in funzione di s?
Deduco che dovrei integrare da entrambe le parti e so che il dx all'interno dell'integrale è riferito alla variabile rispetto alla quale si integra ma quando il d viene elevato al quadrato non riesco a capire cosa possa voler dire.
La formula che ho usato è semplicemente la legge oraria
\(v={ds\over dt};\quad a={dv\over dt}\)
Risposte
Non so se ho capito bene la tua domanda ma penso che dovresti vederla in questo modo:
$a=\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d(\frac{ds}{dt})}{dt}$
dove il secondo passaggio è per definizione, e usando che $\frac{ds}{dt}=v(t)$ ottieni
\( a=\frac{dv}{dt}\ \ \ \ \Rightarrow a \cdot dt=dv \ \ \ \ \Rightarrow v(t)=v(0) + at \) .
Successivamente utilizzando $s(t)=\frac{dv}{dt}$ ottieni che
\( ds= (v(0)+at) dt \ \ \ \Rightarrow s(t)=s(0) + v(0)t + \frac{1}{2}at^2 \).
$a=\frac{d^2s}{dt^2}=\frac{d(\frac{ds}{dt})}{dt}$
dove il secondo passaggio è per definizione, e usando che $\frac{ds}{dt}=v(t)$ ottieni
\( a=\frac{dv}{dt}\ \ \ \ \Rightarrow a \cdot dt=dv \ \ \ \ \Rightarrow v(t)=v(0) + at \) .
Successivamente utilizzando $s(t)=\frac{dv}{dt}$ ottieni che
\( ds= (v(0)+at) dt \ \ \ \Rightarrow s(t)=s(0) + v(0)t + \frac{1}{2}at^2 \).
Ok, questo passaggio l'avevo già trovato. Io mi chiedevo invece come integrare la funzione che avevo scritto all'inizio.
La mia domanda era più generale: voglio esprimere x in funzione di y.
\( d^2x=c\,dy^2 \)
c è una costante
La mia domanda era più generale: voglio esprimere x in funzione di y.
\( d^2x=c\,dy^2 \)
c è una costante
Semplicemente, è la notazione \(\text{d}^2 x =c\ \text{d} y^2\) a non "avere un senso" adeguato a fare formalmente i calcoli.
Perciò occorre capire il problema che essa nasconde, prima di impelagarsi in considerazioni filosofiche. Il problema è il seguente:
ed, evidentemente, le soluzioni di tale problema sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
x(y;A,B) = \frac{c}{2}\ y^2 + A\ y + B\; ,
\]
in cui \(A,B\in \mathbb{R}\) sono due costanti arbitrarie (cioé due parametri); tali soluzioni si ottengono applicando due volte il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (TFCI), il quale assicura che, fissato un punto a casaccio \(y_0\) e due valori altrettanto arbitrari \(x_0,x_0^\prime\), la funzione:
\[
\begin{split}
x(y) &= x_0+\intop_{y_0}^y \left( x_0^\prime + \intop_{y_0}^\eta c\ \text{d} \theta\right)\ \text{d}\eta \\
&= x_0 + \intop_{y_0}^y \Big( c\ (\eta -y_0) + x_0^\prime\Big)\ \text{d}\eta\\
&= x_0+x_0^\prime (y-y_0) + \frac{c}{2}\ (y-y_0)^2\\
&= \frac{c}{2}\ y^2 + \underbrace{(x_0^\prime - cy_0)}_{\color{maroon}{=A}}\ y + \underbrace{\left(x_0 -x_0^\prime y_0 + \frac{c}{2}\ y_0^2\right)}_{\color{maroon}{=B}}\\
&= \frac{c}{2}\ y^2 + A\ y + B
\end{split}
\]
è una primitiva del secondo ordine della funzione identicamente uguale a \(c\) (nell'intervallo in cui essa è definita).
In generale, un'equazione del tipo \(\text{d}^n x =f(y)\ \text{d} y^n\) (con \(n\geq 1\) ed \(f\) definita e continua in un intervallo) equivale al problema:
Come sopra, per determinare la soluzione di tale problema, basta applicare \(n\) volte il TFCI fissando a casaccio i parametri \(y_0,x_0,x_0^\prime,x_0^{\prime \prime},\ldots ,x_0^{(n)}\); ragionando in maniera ricorsiva non è diffcile dimostrare che le soluzioni del problema dipendono da \(n\) parametri arbitrari (i quali dipendono da \(y_0,x_0,x_0^\prime,x_0^{\prime \prime},\ldots ,x_0^{(n)}\), ma questa dipendenza può essere trascurata come sopra) e che esse sono del tipo:
\[
x(y) = A_0+A_1\ y+ A_2\ y^2+\cdots + A_{n-1}\ y^{n-1} + \frac{1}{(n-1)!}\ \intop_{y_0}^y (\eta -y_0)^{n-1} f(\eta)\ \text{d}\eta
\]
(se non ho sbagliato i conti).
Perciò occorre capire il problema che essa nasconde, prima di impelagarsi in considerazioni filosofiche. Il problema è il seguente:
determinare ogni funzione \(x(y)\) che abbia la derivata seconda costante ed identicamente uguale a \(c\)
ed, evidentemente, le soluzioni di tale problema sono tutte e sole le funzioni del tipo:
\[
x(y;A,B) = \frac{c}{2}\ y^2 + A\ y + B\; ,
\]
in cui \(A,B\in \mathbb{R}\) sono due costanti arbitrarie (cioé due parametri); tali soluzioni si ottengono applicando due volte il Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale (TFCI), il quale assicura che, fissato un punto a casaccio \(y_0\) e due valori altrettanto arbitrari \(x_0,x_0^\prime\), la funzione:
\[
\begin{split}
x(y) &= x_0+\intop_{y_0}^y \left( x_0^\prime + \intop_{y_0}^\eta c\ \text{d} \theta\right)\ \text{d}\eta \\
&= x_0 + \intop_{y_0}^y \Big( c\ (\eta -y_0) + x_0^\prime\Big)\ \text{d}\eta\\
&= x_0+x_0^\prime (y-y_0) + \frac{c}{2}\ (y-y_0)^2\\
&= \frac{c}{2}\ y^2 + \underbrace{(x_0^\prime - cy_0)}_{\color{maroon}{=A}}\ y + \underbrace{\left(x_0 -x_0^\prime y_0 + \frac{c}{2}\ y_0^2\right)}_{\color{maroon}{=B}}\\
&= \frac{c}{2}\ y^2 + A\ y + B
\end{split}
\]
è una primitiva del secondo ordine della funzione identicamente uguale a \(c\) (nell'intervallo in cui essa è definita).
In generale, un'equazione del tipo \(\text{d}^n x =f(y)\ \text{d} y^n\) (con \(n\geq 1\) ed \(f\) definita e continua in un intervallo) equivale al problema:
determinare ogni funzione \(x(y)\) che abbia la derivata \(n\)-esima identicamente uguale a \(f\).
Come sopra, per determinare la soluzione di tale problema, basta applicare \(n\) volte il TFCI fissando a casaccio i parametri \(y_0,x_0,x_0^\prime,x_0^{\prime \prime},\ldots ,x_0^{(n)}\); ragionando in maniera ricorsiva non è diffcile dimostrare che le soluzioni del problema dipendono da \(n\) parametri arbitrari (i quali dipendono da \(y_0,x_0,x_0^\prime,x_0^{\prime \prime},\ldots ,x_0^{(n)}\), ma questa dipendenza può essere trascurata come sopra) e che esse sono del tipo:
\[
x(y) = A_0+A_1\ y+ A_2\ y^2+\cdots + A_{n-1}\ y^{n-1} + \frac{1}{(n-1)!}\ \intop_{y_0}^y (\eta -y_0)^{n-1} f(\eta)\ \text{d}\eta
\]
(se non ho sbagliato i conti).
"dissonance":
Chi si vede, è tornata la formula della primitiva $n$-esima!
E ti ho anche sistemato le formule dell'OP...
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