Chiarimento max e min di x

[rita212]

ciao ragazzi mi sono imbattuta nell'esercizio di massimi e minimi di una funzione nell'intervallo mi spiegate dettagliatamente come li distinguo? io ho capito questa logica:
1) calcolo la deriva prima
2)eguaglio la derivata prima uguale a zero e trovo i punti critici
3)studio il segno della derivata prima per capire la natura dei punti critici e la crescenza decrescenza
4)trovo le ordinate sostituendo i punti critici e i valori nell'intervallo
e poi?????????
quando devo utilizzare la derivata seconda??
grazie 1000 a tutti!

[marco.ceccarelli]

Qualche esempio che magari può esserti utile.

http://www.dm.unibo.it/~cagliari/agrari ... %20min.pdf

[ostrogoto1]

Le derivate successive alla prima sono coinvolte nello studio dei massimi e minimi dal teorema che afferma che se una funzione ha tutte le derivate nulle fino alla (n-1)-esima $ f'(x_0)=f''(x_0)=...=(d^(n-1\)f(x_0))/(dx^(n-1))=0 $ nel punto $ x_0 $ e la derivata $ f^n(x_0)!=0 $ allora
i) se n e' pari e $ (d^nf(x_0))/(dx^n)>0 $ allora $ x_0 $ e' un punto di minimo.
ii) se n e' pari e $(d^nf(x_0))/(dx^n)<0 $ allora $ x_0 $ e' un punto di massimo.
ii) se n e' dispari allora $ x_0 $ non e' un punto estremante.

Di solito poi la derivata seconda di una funzione si usa per stabilirne la concavita'.

[rita212]

prima di tutto vorrei ringraziare entrambi per la vostra disponibilità!!! Ostrogoto non mi è chiarissimo il teorema che hai enunciato su potresti gentilmente aiutarmi? come distinguo max e min assoluti e relativi???100000 grazie e scusate ancora!

[ostrogoto1]

Esempio di applicazione del teorema [in alternativa puoi anche studiare il segno della derivata prima] e determinazione max et min assoluti:
$ f(x)=1/4x^4-1/3x^3-3x^2 $

$ f'(x)=x(x-3)(x+2) $
$ f''(x)=3x^2-2x-6 $

La derivata prima si annulla in $ x=0 $ e $ x=3 $ e $ x=-2 $.
La derivata seconda (n=2) cioe' caso di n pari, risulta $ f''(0)=-6<0 $ quindi per il teorema $ x=0 $ e' un punto di massimo, mentre per $ x=-2 $ risulta $ f''(-2)>0 $ quindi punto di minimo come $ x=3 $ per il quale $ f''(3)>0 $.
Per sapere quale tra i due minimi e' quello assoluto basta studiare quello "piu' profondo":
$ f(-2)>f(3) $ quindi il minimo assoluto e' in $ x=3 $.
Ovviamente se capitasse di stabilire quale sia il massimo assoluto si cerca quello "piu' alto" con procedimento analogo...

Spero di aver azzeccato i conti...

[rita212]

grazie 10000 ostrogoto! ma con lo studio della derivata prima come faccio a distinguere massimi e minimi??mi sembra il metodo più semplice!

[ostrogoto1]

Un metodo per distinguere massimi e minimi consiste nello studio del segno della derivata prima nell'intorno del punto estremante [studia sul tuo libro il teorema relativo per benino].
Es. nel caso del messaggio precedente: in un intorno di $ x=0 $. $ f'(x)>0 $ per $ x<0 $ e $ f'(x)<0 $ per $ x>0 $ quindi massimo. In dettaglio: nell'espressione della derivata prima $ (x-3)(x+2) $ e' una parabola all'insu' quindi $ (x-3)(x+2)<0 $ per $ -20 $ se $ x>0 $ naturalmente e negativo altrimenti. Unendo queste informazioni si ricava il segno di $ f'(x) $ e quindi e' possibile determinare la natura di tutti i punti estremanti. Fai tu per gli altri due punti.