Chiarimento: Ipotesi per la Trasformata di Fourier
Mi sfugge capire perchè per calcolare la trasformata di Fourier di una distribuzione usiamo l'ipotesi che sia temperata.
Se \(\displaystyle x(t) \) è una distribuzione, la sua trasformata è \(\displaystyle F\left[ x\left( t \right) \right]\left( w \right)=\int_{-\infty }^{+\infty }{x\left( t \right)e^{-jwt}dt} \), per far convergere l'integrale non dobbiamo dire che sia limitata? Perchè usiamo il concetto più debole di temperata?
Se \(\displaystyle x(t) \) è una distribuzione, la sua trasformata è \(\displaystyle F\left[ x\left( t \right) \right]\left( w \right)=\int_{-\infty }^{+\infty }{x\left( t \right)e^{-jwt}dt} \), per far convergere l'integrale non dobbiamo dire che sia limitata? Perchè usiamo il concetto più debole di temperata?
Risposte
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Per fare convergere assolutamente l'integrale non basta che \(x\) sia una funzione limitata, dovrebbe essere sommabile (\(L^1\)). Questo lascia fuori un sacco di funzioni, ed è per questo che qualcuno si è ingegnato ed ha trovato la formulazione distribuzionale della trasformata di Fourier.
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