Chiarimento integrali impropri
Buongiorno a tutti! Ho solo bisogno di una conferma.. $ int_ (1)^(+infty) e^x/ x^3 dx$ posso dire che diverge perché lo posso minorare con $ int_ (1)^(+infty) x^5/x^3 dx$ il quale diverge? Grazie in anticipo.
Risposte
Secondo te?
Secondo me sì. Ho ragione?
No. Tutto la questione non ha senso perché per parlare di convergenza l'integrando deve essere infinitesimo per $x->oo$, è una condizione necessaria...nel tuo caso $e^x/x^3$ non è infinitesimo per $x->oo$...
Grazie mille! Quindi fondamentalmente non converge perché viene meno la condizione necessaria di convergenza. E se invece avessi un integrale del tipo $int_(1)^(+infty) 1/(e^x*x^2) dx$ posso dire che converge perché lo posso maggiorare ad esempio con $int_(1)^(+infty) 1/x^4 dx$ che converge?
"Appinmate":
Buongiorno a tutti! Ho solo bisogno di una conferma.. $ int_ (1)^(+infty) e^x/ x^3 dx$ posso dire che diverge perché lo posso minorare con $ int_ (1)^(+infty) x^5/x^3 dx$ il quale diverge? Grazie in anticipo.
Questo ragionamento non è il migliore possibile, ma non è sbagliato.
Quale sarebbe il migliore?
Quello indicato da Vulplasir: se la funzione non è infinitesima allora l'integrale improprio non può convergere. Questo è un altro modo di dire che se il limite della funzione è \(l \ne 0\) allora l'integrale è [definitivamente] maggiore di \((l-\epsilon)\) moltiplicato per la lunghezza dell'intervallo di integrazione, che è infinita.
Perfetto! Grazie mille per gli aiuti!
Attenti, non si sta mica parlando di serie, quella non è una condizione necessaria alla convergenza di un integrale improprio.
Ci sono funzioni non infinitesime che sono integrabili in senso improprio?
Ma che stai dicendo, certo che è una condizione necessaria
No perché se definisco una funzione $f:[1,+\infty)->RR$ in questo modo $f(x)={(2^n,\text{se} x\in[n,n+1/4^n]),(0,\text{altrimenti}):}$ la funzione è integrabile in senso improprio (l'integrale fa $1$) ma non è infinitesima.
Credo che sia una condizione necessaria implicata dal criterio degli integrali per le serie
Si vabbè si sottintendeva funzioni sufficientemente regolari, è chiaro che si puòtirare fuori dal cilindro qualsiasi funzione...basta per esempio che una funziona sia sempre zero a parte in in numero infinito numerabile di punti, ma questo non toglie che il principio di fondo è quello, la funzione che hai scritto all'infinito vale zero a parte in alcuni intervalli che diventano trascurabili.
@otta: ottimo esempio! Stavamo tutti pensando al caso in cui il limite esiste, però se il limite non esiste è vero quello che dici!
@Vulplasir: non c'entra la regolarità, puoi fare una funzione \(C^\infty\) che stia sempre sotto la funzione dell'esempio di otta e non cambierebbe la sostanza.
@Vulplasir: non c'entra la regolarità, puoi fare una funzione \(C^\infty\) che stia sempre sotto la funzione dell'esempio di otta e non cambierebbe la sostanza.
Esatto Raptorista, in effetti SE esiste il limite deve essere per forza $0$, ma questa condizione non è garantita.
La condizione necessaria che si possa dimostrare in generale è che $\text{liminf}_{x->+\infty} f(x)<=0<=\text{limsup}_{x->+\infty} f(x)$, e anche sotto ipotesi di regolarità maggiore tipo $C^\infty$ non si può migliorare (non so cosa succede per funzioni analitiche sinceramente).
La condizione necessaria che si possa dimostrare in generale è che $\text{liminf}_{x->+\infty} f(x)<=0<=\text{limsup}_{x->+\infty} f(x)$, e anche sotto ipotesi di regolarità maggiore tipo $C^\infty$ non si può migliorare (non so cosa succede per funzioni analitiche sinceramente).
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo