Chiarimento integrale doppio

[_Daniele_]

Ciao ragazzi, sono alle prese con il seguente integrale doppio:

$ int int cos (piy) dx dy $ dove il dominio è $ D={(x,y)in R^2: |x-2|<=y<=1/2x} $ .

Il grafico è questo.
https://ggbm.at/dACX6zZK

Siccome non è normale né all'asse x né all'asse y ho pensato di dividere il triangolino in due triangolini facendo passare una retta verticale in $x=2$. Giusto?

[billyballo2123]

In pratica l'integrale è
\[
\begin{split}
\int_{\frac{4}{3}}^{4}\bigg(\int_{|x-2|}^{\frac{x}{2}}\cos(\pi y) dy\bigg)dx
=&\frac{1}{\pi}\int_{\frac{4}{3}}^{4}\bigg[\sin(\pi y)\bigg]_{|x-2|}^{\frac{x}{2}}dx \\
=&\frac{1}{\pi}\int_{\frac{4}{3}}^{4}\bigg[\sin\bigg(\frac{\pi}{2}x\bigg)-\sin(\pi|x-2|)\bigg]dx \\
=&-\frac{2}{\pi^2}\bigg[\cos\bigg(\frac{\pi}{2}x\bigg)\bigg]_{\frac{4}{3}}^{4}-\frac{1}{\pi}\int_{\frac{4}{3}}^{4}\sin(\pi|x-2|)dx \\
=&-\frac{3}{\pi^2}-\frac{1}{\pi}\int_{\frac{4}{3}}^{2}\sin\big(\pi(2-x)\big)dx-\frac{1}{\pi}\int_{2}^{4}\sin\big(\pi(x-2)\big)dx \\
=&-\frac{3}{\pi^2}-\frac{1}{\pi^2}\big[\cos\big(\pi(2-x)\big)\big]_{\frac{4}{3}}^{2}+\frac{1}{\pi^2}\big[\cos\big(\pi(x-2)\big)\big]_{2}^{4} \\
=&-\frac{3}{\pi^2}-\frac{3}{2\pi^2} \\
=&-\frac{9}{2\pi^2}.
\end{split}
\]

[_Daniele_]

No aspetta, non ho capito.
Io l'integrale l'ho fatto così:
$ int_(4/3)^(2) dx int_(0)^(2/3) cos(piy)dy + int_(2)^(4)dx int_0^(2) cos(piy)dy $
ovviamente ho fatto così perché ho diviso il dominio utilizzando la retta $x=2$


EDIT: l'ho riletto meglio un paio di volte e ho capito meglio. Quindi come ho fatto io è giusto?

[billyballo2123]

Uhm... no...
Ad esempio nel primo integrale, la variabile $y$ dovrebbe avere estremi $|x-2|=2-x$ e $x/2$, mentre tu usi gli estremi $0$ e $2/3$.
Idem per il secondo: gli estremi sono $|x-2|=x-2$ e $x/2$, non $0$ e $2$.

[_Daniele_]

Ti ringrazio

[billyballo2123]

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