Chiarimento integrale di linea prima specie

[filvan95]

su wikipedia (link: http://it.wikipedia.org/wiki/Integrale_ ... ima_specie)
ho letto che Se il dominio della funzione f è R, l'integrale curvilineo si riduce al comune integrale di Riemann.
Chi mi sa spiegare, magari anche con un esempio questa affermazione?
Grazie in anticipo.

[billyballo2123]

Se il dominio della funzione è $\mathbb{R}$ (ovvero se $n=1$), allora la curva è a valori in $\mathbb{R}$, cioè $r:[a,b]\to \mathbb{R}$. Se supponiamo $r(a) \[
r(t)=\frac{r(b)-r(a)}{b-a}t+\frac{r(a)b-r(b)a}{b-a},
\]
ovvero la retta che congiunge i punti $(a,r(a))$ e $(b,r(b))$. In realtà la curva potrebbe essere differente, ma il risultato non cambia! dalla definizione di integrale curvilineo, si ha che
\[
\int\limits_{C} \! f \, ds=\int_a^b \! f(r(t))||r'(t)||\, dt=\int_a^b \! f\bigg(\frac{r(b)-r(a)}{b-a}t+\frac{r(a)b-r(b)a}{b-a}\bigg)\frac{r(b)-r(a)}{b-a}\, dt.
\]
Eseguendo ora il cambio di variabile
\[
s=\frac{r(b)-r(a)}{b-a}t+\frac{r(a)b-r(b)a}{b-a} \quad\quad\quad ds=\frac{r(b)-r(a)}{b-a}dt
\]
otteniamo
\[
\int_{r(a)}^{r(b)}\! f(s)\, ds,
\]
ovvero l'integrale lungo la curva è il solito integrale di Riemann esteso all'intervallo $[r(a),r(b)]$, in simboli
\[
\int\limits_{C} \! f \, ds=\int_{r(a)}^{r(b)}\! f(s)\, ds.
\]

[filvan95]

grazie mille, gentilissimo!

[billyballo2123]

Ora che ci penso era molto più semplice farlo in generale, cioè senza considerare la curva particolare che ho usato io. Infatti basta fare il cambio di variabile
\[
s=r(t) \quad\quad ds=r'(t)dt.
\]
Dunque (poiché $||r'(t)||=r'(t)$ dato che la curva deve essere regolare)
\[
\int\limits_{C} \! f \, ds=\int_a^b \! f(r(t))||r'(t)||\,dt=\int_a^b \! f(r(t))r'(t)\,dt=\int_{r(a)}^{r(b)}\! f(s)\, ds.
\]