Chiarimento gerarchia degli infiniti limiti
Buongiorno,
Ho un problema con il seguete limite per quanto riguarda la gerarchia degli infiniti:
$ lim_(x -> oo ) ((x+1)^(x)-x^(x))/(x^(x)) $
Questo limite risulta e-1 ma per la gerarchia degli infiniti perché non posso trascurare x^(x) per il fatto che (x+1)^(x) vada piú velocemente a infinito di x^(x) (infatti in questo caso risulterebbe e).
Grazie
Ho un problema con il seguete limite per quanto riguarda la gerarchia degli infiniti:
$ lim_(x -> oo ) ((x+1)^(x)-x^(x))/(x^(x)) $
Questo limite risulta e-1 ma per la gerarchia degli infiniti perché non posso trascurare x^(x) per il fatto che (x+1)^(x) vada piú velocemente a infinito di x^(x) (infatti in questo caso risulterebbe e).
Grazie
Risposte
Raccogli $x^x$:
$$\lim_{X\to\infty}\frac{x^x\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-x^x}{x^x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-1=e-1$$
$$\lim_{X\to\infty}\frac{x^x\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-x^x}{x^x}=\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-1=e-1$$
Ok fino a questo punto ci sono ma non capisco il motivo per il quale non si puó applicare ancora prima di raccogliere la gerarchia degli infiniti come ho detto prima
Perché in realtà $(x+1)^x$ e $x^x$ al "primo ordine" si comportano allo stesso modo, per cui non puoi trascurare uno a discapito dell'altro. Se vuoi
$$(x+1)^x\sim x^x$$
in quanto la $x$ nella parentesi "mangia" la costante. Ma se facessi questa considerazione, allora ti ritroveresti a lavorare con una funzione che si comporta come
$$x^x-x^x=0$$
cioè quella costante identicamente nulla, e ti rendi conto che ciò non è vero.
$$(x+1)^x\sim x^x$$
in quanto la $x$ nella parentesi "mangia" la costante. Ma se facessi questa considerazione, allora ti ritroveresti a lavorare con una funzione che si comporta come
$$x^x-x^x=0$$
cioè quella costante identicamente nulla, e ti rendi conto che ciò non è vero.
Ok ma se invece di avere un segno negativo avessi avuto un segno positivo sarebbe venuto 2x^(x) e quindi il limite risulterebbe 2
Perchè anche in questo caso si fa lo stesso ragionamento di prima?
Grazie
Perchè anche in questo caso si fa lo stesso ragionamento di prima?
Grazie
Ovvio, Il segno meno porta a quella che viene detta "cancellazione degli infinitesimi di ordine minore" ed è la rogna più grossa con i limiti.
Ma se deve risultare 2 col segno + perchè sul libro cè scritto che risulta 1+e? Praticamente fa lo stesso ragionamento che abbiamo fatto col segno - solo che in quel caso l'ho capito perché si ha una cancellazione di primo ordine ma in questo caso non dovrebbe risultare 2 per il fatto che non si ha una cancellazione ma risulta 2x^(x) per il criterio del confronto?
Grazie e scusa se faccio fatica a comprenderlo
Grazie e scusa se faccio fatica a comprenderlo
Rifai quello che ho scritto prima: la $x^x$ va sempre raccolta, per cui deve venire $e+1$.
P.S.: mi son reso conto che avevo capito un'altra cosa nella tua domanda precedente, sorry.
P.S.: mi son reso conto che avevo capito un'altra cosa nella tua domanda precedente, sorry.
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