Chiarimento funzionale
ciao ragazzi,non mi è del tutto chiaro il concetto di funzionale nella teoria delle distribuzioni....da come mi è sembrato di capire un funzionale è una generalizzazione del concetto di funzione,cioè è una funzione che ha per argomento una funzione test e che restituisce un elemento appartenente all'insieme dei numeri complessi...questa "operazione" mi sembra molto simile all'operazione di composizione di funzioni...ad esempio la delta di dirac è un funzionale che viene applicato ad una funzione test e restituisce il valore di quest'ultima in 0...ma è come fare una sorta di "composizione"?
Risposte
inoltre cosa vuol dire "distribuzione associata alla funzione"? di tutto ciò so ovviamente le definizioni,ma per me rimangono tali....ma non ho capito in realtà cosa vogliano dire... 
Componendo due funzioni si ottiene una nuova funzione, qui invece ottieni un numero, quindi stai compiendo un'operazione differente. Una distribuzione è un oggetto che trasforma le funzioni test in numeri, e che lo fa in un modo conveniente (ossia linearmente e rispettando un certo tipo di convergenza).
Quando si dice che il concetto di distribuzione generalizza il concetto di funzione è per un altro motivo, che ci riconduce alla domanda del secondo post. A ogni funzione $f$ (sotto qualche ipotesi di integrabilità) si può associare la distribuzione che trasforma una funzione test $\varphi$ nel numero $\int_{\Omega}f(x)\varphi (x) dx$ (dove $\Omega$ è il tuo dominio in $\mathbb{R}$ o in $\mathbb{R}^n$). Solitamente si continua a indicare la distribuzione associata a $f$ con il simbolo $f$, che all'inizio può generare confusione ma è molto comodo e sottolinea il fatto che in un certo senso ogni funzione è anche una distribuzione (perché puoi sempre associarvene una in modo univoco).
La delta di Dirac che hai citato è invece il classico esempio di distribuzione che NON proviene da una funzione. Se infatti per assurdo essa fosse la distribuzione associata a una funzione $f$, si dovrebbe avere $\int_{\Omega}f(x)\varphi (x) dx=\varphi(0)$ per ogni funzione test $\varphi$. Si dimostra che non esiste alcuna funzione $f$ con questa proprietà, per cui tutto ciò è impossibile.
Fammi sapere se ti è almeno un po' più chiaro!
Quando si dice che il concetto di distribuzione generalizza il concetto di funzione è per un altro motivo, che ci riconduce alla domanda del secondo post. A ogni funzione $f$ (sotto qualche ipotesi di integrabilità) si può associare la distribuzione che trasforma una funzione test $\varphi$ nel numero $\int_{\Omega}f(x)\varphi (x) dx$ (dove $\Omega$ è il tuo dominio in $\mathbb{R}$ o in $\mathbb{R}^n$). Solitamente si continua a indicare la distribuzione associata a $f$ con il simbolo $f$, che all'inizio può generare confusione ma è molto comodo e sottolinea il fatto che in un certo senso ogni funzione è anche una distribuzione (perché puoi sempre associarvene una in modo univoco).
La delta di Dirac che hai citato è invece il classico esempio di distribuzione che NON proviene da una funzione. Se infatti per assurdo essa fosse la distribuzione associata a una funzione $f$, si dovrebbe avere $\int_{\Omega}f(x)\varphi (x) dx=\varphi(0)$ per ogni funzione test $\varphi$. Si dimostra che non esiste alcuna funzione $f$ con questa proprietà, per cui tutto ciò è impossibile.
Fammi sapere se ti è almeno un po' più chiaro!
si comincia ad essermi tutto piu chiaro 
mi è rimasto un dubbio notazionale:da parecchie fonti si evince che il simbolo di integrale sia una pura formalità di notazione e che non si fa proprio l'integrale del prodotto tra le due funzioni..dal tuo post capisco che l'integrale sia il numero a cui viene associata la funzione test mediante il funzionale....
mi è rimasto un dubbio notazionale:da parecchie fonti si evince che il simbolo di integrale sia una pura formalità di notazione e che non si fa proprio l'integrale del prodotto tra le due funzioni..dal tuo post capisco che l'integrale sia il numero a cui viene associata la funzione test mediante il funzionale....
Nel caso in cui $f$ sia davvero una funzione, l'integrale è un vero integrale. Nel caso in cui non lo sia, i matematici tendono a usare un simbolo diverso ma penso che da altre parti si continui a usare l'integrale, rendendo la notazione puramente formale. L'importante è che ti sia chiaro in entrambi i casi quello che stai facendo.
Arrivo un po' tardi, ma mi sento di consigliare questo e questo post (sulla definizione di distribuzione) e quest'altro post (sulla notazione per la delta di Dirac).
quindi se abbiamo una funzione "vera" quell'integrale ci da i valori dell'immagine giusto?
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