Chiarimento esercizio..limite con integrale doppio

[21zuclo]

Ciao a tutti, questo è un esercizio che ho trovato su un eserciziario, l'ho provato a fare, ma in maniera completamente sbagliata vorrei capire dove ho sbagliato, e perchè il libro fa un altro procedimento. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Calcolare $ \lim_(r \to +\infty) \int_(D_r) (1)/(1+x^2+y^2)dxdy $
dove $ D_r=\{(x,y)| y\in [0,1], x^2+y^2\leq r^2\} $

ho provato a svolgere così (ometto qualche calcolo)

ho calcolato prima l'integrale e poi ho fatto il limite.. sono passato in coordinate polari

$ \int_(\pi)^(\pi/2)d\theta (\int_(0)^(r) (\rho)/(1+rho^2)d\rho)=-\pi/2 (1/2 \ln(1+\rho^2)|_0^r)=-\pi/4 \ln(1+r^2) $

quindi poi ne faccio il limite $ \lim_(r\to +\infty) (-\pi/4\ln (1+rho^2))=-\infty $

Guardo la soluzione ed è completamente sbagliato.

Soluzione del libro (vorrei capire cosa sta facendo)

Posto $\forall r\geq 0$ $ A_r=\{(x,y)| x\in [0,r], y\in [0,1]\} $

l'integrando è positivo, dunque il limite cercato coincide con il limite per $r \to +\infty$ della funzione crescente

$ f(r)=\int_(A_r) (1)/(1+x^2+y^2)dxdy $

quindi si ha $ f(r)=\int_(0)^(1)dy (\int_(0)^(r) (1)/(1+x^2+y^2)dx) $

da cui, usando la sostituzione $t=(x)/(\sqrt(1+y^2))$ (da dove l'ha presa questa sostituzione?)

si ha $ f(r)=\int_(0)^(1)(1)/(sqrt(1+y^2))\arctan((r)/(sqrt(1+y^2)))dy $

e allora si può concludere

$\lim_(r \to +\infty) f(r)= \pi/2 \int_(0)^(1) (dy)/(\sqrt(1+y^2))=\pi/2 \ln(1+sqrt(2))$

ALLORA
ok il $\pi/2$.. l'arctan è limitata.. ma non capisco lui che passaggi ha fatto.. perchè fa questa soluzione?

Cosa c'è che non va nel mio procedimento?

poi da dove l'ha presa questa sostituzione? $t= (x)/(sqrt(1+y^2))$

[Quinzio]

"21zuclo":Ciao a tutti, questo è un esercizio che ho trovato su un eserciziario, l'ho provato a fare, ma in maniera completamente sbagliata vorrei capire dove ho sbagliato, e perchè il libro fa un altro procedimento. Aiutatemi per favore. Grazie in anticipo

Calcolare $ \lim_(r \to +\infty) \int_(D_r) (1)/(1+x^2+y^2)dxdy $
dove $ D_r=\{(x,y)| y\in [0,1], x^2+y^2\leq r^2\} $

ho provato a svolgere così (ometto qualche calcolo)

ho calcolato prima l'integrale e poi ho fatto il limite.. sono passato in coordinate polari

$ \int_(\pi)^(\pi/2)d\theta (\int_(0)^(r) (\rho)/(1+rho^2)d\rho)=-\pi/2 (1/2 \ln(1+\rho^2)|_0^r)=-\pi/4 \ln(1+r^2) $

quindi poi ne faccio il limite $ \lim_(r\to +\infty) (-\pi/4\ln (1+rho^2))=-\infty $

Guardo la soluzione ed è completamente sbagliato.

Soluzione del libro (vorrei capire cosa sta facendo)

Innanzitutto dovresti avere presente la figura di cui stiamo parlando: prendi una striscia orizzontale $0<=y<=1$, quindi immagina (o fai qualche prova su un foglio di carta) di tracciare dei cerchi di raggio sempre più grande.
Ora osserva cosa succede quando il raggio diventa molto grande: la parte di circonferenza dentro alla striscia assomiglia sempre di più a un trattino verticale, vero ?
Fai quest'altra prova, disegna un cerchio di raggio 1 e disegna la striscia $0<=y<=k$, con $k$ che diventa sempre più piccolo. E' la stessa cosa di prima, tranne che stiamo zoomando "fuori". Il pezzo di circonferenza nella strisciolina è sempre più simile a un segmentino verticale.
Del resto il pezzo di circonferenza interseca i bordi della striscia a $x=r$ e $x=\sqrt(r^2-1)$, il cui limite $r->oo$ è $r$, cioè diventa un trattino verticale.
Quindi l'area di integrazione, all'infinito, diventa un rettangolo.

Posto $\forall r\geq 0$ $ A_r=\{(x,y)| x\in [0,r], y\in [0,1]\} $

Ora dovrebbe essere chiaro cosa fanno qua sopra.

l'integrando è positivo, dunque il limite cercato coincide con il limite per $r \to +\infty$ della funzione crescente

$ f(r)=\int_(A_r) (1)/(1+x^2+y^2)dxdy $

quindi si ha $ f(r)=\int_(0)^(1)dy (\int_(0)^(r) (1)/(1+x^2+y^2)dx) $

da cui, usando la sostituzione $t=(x)/(\sqrt(1+y^2))$ (da dove l'ha presa questa sostituzione?)

Dobbiamo fare questo integrale:
$\int (1)/(1+x^2+y^2)dx$
Pensa a $y$ come a una costante.
Ci si riconduce all'arcotangente.
$\int 1/(1+y^2) 1/(1+(x/(\sqrt(1+y^2)))^2) dx = 1/(\sqrt(1+y^2)) \arctan (x/(\sqrt(1+y^2)))$

si ha $ f(r)=\int_(0)^(1)(1)/(sqrt(1+y^2))\arctan((r)/(sqrt(1+y^2)))dy $

e allora si può concludere

$\lim_(r \to +\infty) f(r)= \pi/2 \int_(0)^(1) (dy)/(\sqrt(1+y^2))=\pi/2 \ln(1+sqrt(2))$

ALLORA
ok il $\pi/2$.. l'arctan è limitata.. ma non capisco lui che passaggi ha fatto.. perchè fa questa soluzione?

Hanno portato il limite dentro l'integrale e quindi l'arcotangente diventa $\pi/2$ come dici tu.
Quindi $\int1/(\sqrt(1+y^2))dy=sinh^(-1) y$.

Cosa c'è che non va nel mio procedimento?

poi da dove l'ha presa questa sostituzione? $t= (x)/(sqrt(1+y^2))$

[21zuclo]

Grazie!

ora..si che è chiaro..soprattutto nella parte iniziale!..

Grazie!..

madò se fosse stato in un compito d'esame.. 0 punti subito.. almeno per la prox volta sarò più preparato..

a quest'integrale $ \int (1)/(1+x^2+y^2)dx $

mi ero proprio perso in un bicchiere d'acqua.. accidenti a me