Chiarimento esercizio (già svolto)

[Dino 921]

salve, mi si chiede di calcolare la somma delle seguente serie di funzioni..
$ sum_(n = 0)^(+oo) x^n/((n+2)!) $

Ricordando lo sviluppo di Taylor della funzione $e^x$, si ha (moltiplicando e dividendo la serie data per $x^2$):

$ 1/x^2 sum_(n = 0)^(+oo) x^(n+2)/((n+2)!) $

col risultato di aver reso equivalenti l'esponente della $x$ e il denominatore, al fine di poter applicare lo sviluppo di Taylor.

ora, io mi aspetterei come risultato: $e^x/x^2$, perchè $e^x$ è la funzione di cui $x^(n+2)/(n+2)$ è lo sviluppo n-esimo.

ma la soluzione riportata è:

$(e^x -1 - x)/x^2$

perchè?

P.s.: forse $-1 -x$ deriva dai primi due termini dello sviluppo dell'esponenziale, col segno meno davanti. Non so se può esser d'aiuto.

grazie

[gugo82]

Certo, è come dici nel tuo P.S.

Infatti, cambiando gli indici hai:
\[
\begin{split}
\frac{1}{x^2}\ \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n+2}}{(n+2)!} &\stackrel{m=n+2}{=} \frac{1}{x^2}\ \sum_{m=2}^\infty \frac{x^m}{m!}\\
&= \frac{1}{x^2}\ \left( \sum_{m=0}^\infty \frac{x^m}{m!} -1-x\right)
\end{split}
\]
quindi...

[Dino 921]

quindi, siccome nella sommatoria n parte 2, abbiamo sottratto i primi 2 termini dello sviluppo. Grazie gugo. Forse ti ho ringraziato 3 volte in meno di 12 ore