Chiarimento dimostrazione teorema di Schwarz
Sto studiando il teorema di shwarz, ma ho un problema nella comprensione della dimostrazione.
L'enunciato da cui parto è questo: sia $(x_0,y_0)in RR^2$, sia $delta>0$, sia $f:(x_0-delta, x_0+delta)x(y_0-delta, y_0+delta)->RR$. Supponiamo che $f_(xy)(x,y)$ e $f_(yx)(x,y)$ esistano in tutto $RR_(delta)$ e supponiamo siano continue in $(x_0, y_0)$. Allora $f_(xy)(x_0,y_0) = f_(yx)(x_0,y_0)$.
La dimostrazione che sto studiando è la seguente: si considera la funzione $g(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)+f(x_0,y_0)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)$. Poi considero le seguenti:
$phi(t)=f(x_0+h,t)-f(x_0,t)$ e
$psi(t)=f(t, y_0+k)-f(t,y_0)$
Ora $g(h,k)$ si può scrivere così: $g(h,k)=phi(y_0+k)-phi(y_0)$. Ora applico Lagrange su $phi$ e ottengo che
$g(h,k)=kphi'(y_0+alpha)=k[f_y(x_0+h, y_0+alpha)-f_y(x_0,y_0+alpha)] = khf_(xy)(x_0+beta, t_0+alpha)$. Per ottenere l'ultima uguaglianza si è applicato Lagrange in x. E' prprio questo passaggio che non capisco. Prima Lagrange è stato applicato a $phi(t)$, in che senso ora è applicato a "x"?Da dove salta fuori $f_(xy)$ e $beta$.
Potreste chiarirmi questo punto? Grazie!
L'enunciato da cui parto è questo: sia $(x_0,y_0)in RR^2$, sia $delta>0$, sia $f:(x_0-delta, x_0+delta)x(y_0-delta, y_0+delta)->RR$. Supponiamo che $f_(xy)(x,y)$ e $f_(yx)(x,y)$ esistano in tutto $RR_(delta)$ e supponiamo siano continue in $(x_0, y_0)$. Allora $f_(xy)(x_0,y_0) = f_(yx)(x_0,y_0)$.
La dimostrazione che sto studiando è la seguente: si considera la funzione $g(h,k)=f(x_0+h,y_0+k)+f(x_0,y_0)-f(x_0+h,y_0)-f(x_0,y_0+k)$. Poi considero le seguenti:
$phi(t)=f(x_0+h,t)-f(x_0,t)$ e
$psi(t)=f(t, y_0+k)-f(t,y_0)$
Ora $g(h,k)$ si può scrivere così: $g(h,k)=phi(y_0+k)-phi(y_0)$. Ora applico Lagrange su $phi$ e ottengo che
$g(h,k)=kphi'(y_0+alpha)=k[f_y(x_0+h, y_0+alpha)-f_y(x_0,y_0+alpha)] = khf_(xy)(x_0+beta, t_0+alpha)$. Per ottenere l'ultima uguaglianza si è applicato Lagrange in x. E' prprio questo passaggio che non capisco. Prima Lagrange è stato applicato a $phi(t)$, in che senso ora è applicato a "x"?Da dove salta fuori $f_(xy)$ e $beta$.
Potreste chiarirmi questo punto? Grazie!
Risposte
Nel senso che ora si applica alla funzione $x\mapsto kf_y(x,y_0+\alpha)$. Comunque dovrebbe essere $y_0$ al posto di $t_0$.
Schwarz, please.
Scusami, ma non capisco. Prima Lagrange è stato applicato a $phi(t)$ che era in una variabile, ora a $f_y$ che è in due variabili.
"gugo82":
Schwarz, please.
Si, lo sapevo, una svista
"ZfreS":
Scusami, ma non capisco. Prima Lagrange è stato applicato a $phi(t)$ che era in una variabile, ora a $f_y$ che è in due variabili.
No, te l'ho detto a quale funzione va applicato, chiamala $\psi(x)$ se ti disturba che apparentemente è una funzione in due variabili (ma dipende solo da $x$).
Quindi, se ho ben capito, chiamandola $psi(x)$ otterrei $psi(x+h)-psi(x)$ dato che ignoro $y_0+alpha$. Poi davanti c'è il fattore k.
Si, esatto.
Due precisazioni: $y_0+\alpha$ non è che lo "ignori", è che è una costante, quindi la funzione non ne dipende.
Il fattore $k$ compare dall'applicazione del teorema di Lagrange, dato che è la lunghezza dell'intervallo su cui applichi il teorema.
Due precisazioni: $y_0+\alpha$ non è che lo "ignori", è che è una costante, quindi la funzione non ne dipende.
Il fattore $k$ compare dall'applicazione del teorema di Lagrange, dato che è la lunghezza dell'intervallo su cui applichi il teorema.
Perfetto, ora è chiaro, grazie!
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