Chiarimento derivabilità e retta tangente.

[oretovalley]

Ciao a tutti fra 2 giorni ho l'esame di Analisi 1 e vorrei chiarire un dubbio che ho avuto oggi.

Immaginiamo di avere una funzione definità a tratti, così composta.

f(x) =
senx+1 ( -pi/2 <= x <= 0)
2 (x=0)
(e^x-1)/x (0 cosx (pi/2 <= x <= pi)

Ora studiando i limiti nei punti in cui la funzione cambia, vedo dove la funzione è continua.
lim = 1
x->0-

lim = 1
x->0+

i limiti sono uguali ma la f(0) è = 2 e quindi la funzione presenta un punto di disc. eliminabile o di terza specie.

lim = (e^(pi/2) - 1) / (pi/2)
x->pi/2-

lim = 1
x->pi/2+

nel punto pi/2 la funzione presenta una disc. di prima specie.

Quindi significa che la funziona non è continua in x = 0 e in x = pi/2.
Ora se io voglio costruire la funzione integrale da questa funzione, per il criterio di Lebesgue la funzione è R-Integrabile quindi posso costruirla, e inoltre la derivata della funzione integrale sarà uguale alla funzione f(x), tranne i punti x = 0 e x = pi/2, dove la derivata non esiste, la mia domanda è la funziona integrale ammette retta tangente in questi due punti? Dal teorema di Torricelli-Barrow la funzione integrale è una funzione continua questo implica che la funzione integrale sarà continua anche nei punti in cui non è derivabile? Vi ringrazio in anticipo della risposta!

[Raptorista1]

Un post a dir poco illeggibile.
So che sotto esami è tutto frenetico, ma ti chiedo di usare i compilatori di formule per scrivere.

[oretovalley]

allora, fortunatamente mi è stato chiarito il dubbio, ma mi è rimasto un'altro dubbio, se una f(x) presenta un punto di disc. eliminabile, la derivata della funzione integrale (costruita dalla f(x) ) sarà derivabile in quel punto? In un'esercizio la mia prof mi chiede la retta tangente in quel punto.
Se invece la f(x) presenta un punto di disc. di prima specie, la derivata della funzione integrale non è derivabile, anche perchè sarebbe un punto di cuspide e quindi avrà due rette tangenti diverse (una a destra e una a sinistra) giusto?