Chiarimenti sulla trasformata di Fourier per un segnale periodico

[Wells1]

Buongiorno,
Volevo chiedervi alcuni chiarimenti in merito alla risoluzione delle trasformate di Fourier

Quando mi trovo un esercizio in cui mi viene chiesto di determinare la trasformata di Fourier del prolungamento periodico di periodo \(\displaystyle T=2 \) di un certo segnale solitamente, dopo aver scritto il segnale come una porta, derivo fino a quando non mi compaiono le delta di Dirac e poi trasformo.

Successivamente mi calcolo
\(\displaystyle \beta_n= \omega_0 X(n\omega_0) \)
\(\displaystyle \beta_0=\int_{0}^{T} x(t)dt \)

Adesso viene la mia incertezza... la trasformata e la serie di Fourier si scrivono cosi??
La trasformata:
\(\displaystyle \mathcal{F}[x(t)]=\mathcal{X(\omega)}= \beta_0\ \delta(\omega)+\sum_{n=-\infty }^{+\infty} \beta_n \ \delta(\omega - n\omega_0) \)

La serie invece:
\(\displaystyle x(t)= \frac{\beta_0}{2\pi}\ +\sum_{n=-\infty }^{+\infty} \frac{\beta_n}{2\pi} \ e^{j\omega_ont} \)

[Wells1]

Up...

Ho un dubbio anche su \(\displaystyle \beta_0 \) perchè secondo me si moltiplica per \(\displaystyle \pi \)