Chiarimenti sulla ricerca del dominio

[square-fab]

salve a tutti sono nuovo del forum e volevo chiedere a voi di chiarirmi alcuni dubbi...

premetto che conosco le regole per stabilire il dominio delle funzioni però non ho ben fissato un concetto...

propongo alcuni esercizi che il mio prof ha messo nelle slide come esempi

$ (sin (3x+4)+log_2(x-1))/sqrt(x^3) $ in questo esercizio pongo il denominatore diverso da zero , il radicando maggiore/uguale a zero , e l' argomento del logaritmo maggiore di zero nel mio sistema...
come risultati ho x>o e x>1... qui viene la cosa che non capisco! mettendo questi risultati sul grafico il professore nell esempio prende le parti del grafico vere per entrambe le soluzioni ovvero da 1 a infinito

------
-------------
-----------0-----1-------

se invece vedo questo esercizio sempre usato come esempio:

$ log((x+3)/(x-2)) $ so che si deve porre l' argomento del logaritmo maggiore di zero (io porrei anche il denominatore diverso da zero ma il prof non lo fa ) quindi come risultati avrò numeratore > -3 e denominatore > 2... in questo caso il professore mette sul grafico i risultati e prende solo le parti positive di questo quindi (- infinito,-3) U (2,+infinito)

------ -3--------------2---------
- - - - - + + + + + + + + + + + +
- - - - - - - - - - - - - -+ + + + +
+ + + + - - - - - - -- - + + + + +

quello che non capisco... nel primo caso il prof verifica che entrambe le parti del sistema siano vere nel secondo esercizio invece il dominio risulta per le parti positive...

quindi in definitiva... quando basta solo studiare il segno per trovare il dominio e quando invece devo trovare i tratti dove tutte le condizioni sono verificate ? ( per esempio nella funzione arcoseno con argomento fratto il professore prima studia il segno dei sue casi -1=
grazie mille a chi mi aiuta a comprendere questa cosa

[axpgn]

Dovresti scrivere le formule seguendo le regole (vedi guida in alto), altrimenti si capisce poco ed è facile fraintendere; nella maggior parte dei casi è sufficiente racchiudere le espressioni fra il simbolo del dollaro.
Comunque, se ho ben interpretato la tua scrittura, nel secondo caso devi verificare che l'argomento del logaritmo sia positivo e quindi studi i SEGNI di NUM e DEN; studiando dove questi sono positivi automaticamente elimini il caso zero sia sopra che sotto.

[square-fab]

"axpgn":Dovresti scrivere le formule seguendo le regole (vedi guida in alto), altrimenti si capisce poco ed è facile fraintendere; nella maggior parte dei casi è sufficiente racchiudere le espressioni fra il simbolo del dollaro.
Comunque, se ho ben interpretato la tua scrittura, nel secondo caso devi verificare che l'argomento del logaritmo sia positivo e quindi studi i SEGNI di NUM e DEN; studiando dove questi sono positivi automaticamente elimini il caso zero sia sopra che sotto.

ho modificato le formule secondo le regole...

[axpgn]

Il resto ti è chiaro?

[square-fab]

in realtà non molto e ti spiego perchè... ho fatto alcuni esercizi dove per esempio avevo una funzione del genere $ log((2^x-1)xx ((x^2-7x+6)/(x+3))) $

dove per trovare il dominio si studia solo il segno... eppure credevo che funzioni composte come queste necessitavano del sistema e quindi di verificare dove è vera per ogni elemento del sistema

non riesco a capire quando e dove si applica il sistema e quando basta solo vedere il segno

[axpgn]

Le regole son sempre quelle (den diverso da 0, radicando pos quando radice pari, art log pos); però può capitare che alcune condizioni ne assorbano altre; questo era il caso di quella de tuo prof.
Nella,ultima cosa faresti?

[square-fab]

nell ultima io porrei l' argomento del logaritmo maggiori di zero, quindi

$ (2^x-1)>0 $

$ 2^x > 1 $

$ x>0 $

---------------0-----------
- - - - - - -- - - + + + + +

(0,+00)

$ (( x^2-7x+6)/(x+3))>0 $

$ x^2-7x+6 > 0 $

$ x<1 U x>6 $

$ x+3 >0 $ $ x > -3 $

--------- -3 ----------1---------6------
- - - - - - - + + + + + + + + + + + + +
+ + + + + + + + + + + - - - - - -+ + +
- - - - - - -+ + + + + - - - - - - + + +

quindi (-3,1) U (6,+oo)

e denominatore diverso da zero $ x+3 != 0 $ $ x!=-3 $


------------------ -3 ---------------------
++++++++++++++ - ++++++++++++++++

(-00, -3) U (-3,+00)


ora se io valuto che è una funzione composta e ogni condizione andava a sistema metto i risultati sul grafico e vedo dove vale per tutte le condizioni ovvero

------- - 3 ------ 0 -------1------6-------
\\\\\\\\\\\\\\\\\\\\------------------------
----------|--------------------------------
\\\\\\\\\\\-----------------\\\\\\\\------- ( ho messo le slash al posto degli spazi perche non veniva con l anteprima)

ovvero il dominio risulta nelle zone dove vi sono 3 linee quindi ( 0,1) U (6,+ 00)

invece se valuto la funzione come solo logaritmo quindi dico che il suo argomento deve essere maggiore di zero risulta

------- - 3 ------ 0 -------1------6-------
-------------------+++++++++++++++++
+++++++-+++++++++++++++++++++++
----------+++++++++++++--------+++++
+++++++----------++++++--------+++++

quindi (-00,-3) U (0,1) U (6,+00)

[axpgn]

Mi sono un po' perso però il primo fattore perché deve essere maggiore di zero; cioè come funzione in sé il dominio è tutto $R$, tu lo metti (giustamente) maggiore di zero per studiarne il SEGNO, ma il segno di quel fattore ti serve solo per trovare il segno dell'argomento del logaritmo.
Conclusione: non c'è contraddizione tra i due metodi ...

[adaBTTLS1]

"square-fab":
$ (sin (3x+4)+log_2(x-1))/sqrt(x^3) $ in questo esercizio pongo il denominatore diverso da zero , il radicando maggiore/uguale a zero , e l' argomento del logaritmo maggiore di zero nel mio sistema...
come risultati ho x>o e x>1... qui viene la cosa che non capisco! mettendo questi risultati sul grafico il professore nell esempio prende le parti del grafico vere per entrambe le soluzioni ovvero da 1 a infinito

se invece vedo questo esercizio sempre usato come esempio:

$ log((x+3)/(x-2)) $ so che si deve porre l' argomento del logaritmo maggiore di zero (io porrei anche il denominatore diverso da zero ma il prof non lo fa ) quindi come risultati avrò numeratore > -3 e denominatore > 2... in questo caso il professore mette sul grafico i risultati e prende solo le parti positive di questo quindi (- infinito,-3) U (2,+infinito)

quello che non capisco... nel primo caso il prof verifica che entrambe le parti del sistema siano vere nel secondo esercizio invece il dominio risulta per le parti positive...

quindi in definitiva... quando basta solo studiare il segno per trovare il dominio e quando invece devo trovare i tratti dove tutte le condizioni sono verificate ? ( per esempio nella funzione arcoseno con argomento fratto il professore prima studia il segno dei sue casi -1=
grazie mille a chi mi aiuta a comprendere questa cosa

Nel primo caso le condizioni sul logaritmo e sulla radice sono autonome e indipendenti, e devono essere verificate entrambe (o tutte e tre, come hai scritto tu; comunque, per la cronaca, le due condizioni sulla radice possono anche essere compattate in una sola, cioè $x>0$).
Nel secondo caso c'è un'unica frazione che è argomento del logaritmo, e scrivere $(x+3)/(x-2)>0$ contiene anche sottinteso che la frazione abbia significato; $x-2 != 0$ va comunque verificato, ma se ne tiene conto nella risoluzione della disequazione. Essendo tra l'altro la frazione strettamente positiva, anche la soluzione del numeratore verrà comunque esclusa. Se fosse stato, ad esempio $(x-4)/(x+2) >= 0$ allora avresti risolto $x-4>=0$ e $x+2>0$, ma solo per lo studio del segno: non si fa il sistema, come nell'esempio 1, perché in tal caso troveresti solo le x per cui sia il numeratore sia il denominatore sono positivi; la frazione, invece, è positiva anche quando sono entrambi negativi.
Mi sono persa sugli altri interventi, ma ho pensato di risponderti sulla base della prima domanda. Spero di essere stata chiara e utile. ciao.