Chiarimenti sulla regola della catena
Ciao a tutti, avrei bisogno se possibile di alcuni chiarimenti in merito.
Ho il seguente sistema: $ { ( w(K,T,S_0 )=IV^2(K,T,S_0 )\cdot T ),( y=ln(K/F_T) ):} $ dove $F_T:=S_0e^(\int_(0)^(T) \mu_sds$.
Io so che per la regola della catena, data $f=f(x_1,...,x_n)$ dove ogni $x_i=g_i(y_1,...,y_n)$, vale la relazione
Bene. Siano ora $C=C(S_0,K,T)$ e $\bar(C)=\bar(C)(S_0,F_Te^y,w,y,T)$ due funzioni in più variabili a valori reali, dove $F_Te^y:=K$ e dove " $\bar()$ " è ad uso esclusivamente notazionale per distinguere tra loro le due funzioni (sebbene se in realtà afferiscano al medesimo oggetto). Voglio derivare $\bar(C)$ prima in funzione di $y$ e poi in funzione di $T$.
Nel primo caso il docente scrive $(\partial \bar(C))/(\partial y)=(\partial C)/(\partial K)\cdot (\partial K)/(\partial y)$.
Nel secondo caso $(\partial \bar(C))/(\partial T)=(\partial C)/(\partial T)\cdot (\partial T)/(\partial T)+(\partial C)/(\partial K)\cdot (\partial K)/(\partial T)$.
Non capisco: se nel primo caso credo scriva così perchè $\bar(C)$ è funzione di $y$ ma $y$ è a sua volta è funzione dell'unica (?) variabile $K$, nel secondo caso $T$ è solo una variabile dipendente (cioè non dipende da nulla). Perchè applica la regola della catena in quel modo?
Grazie mille in anticipo a chiunque voglia aiutarmi
Ho il seguente sistema: $ { ( w(K,T,S_0 )=IV^2(K,T,S_0 )\cdot T ),( y=ln(K/F_T) ):} $ dove $F_T:=S_0e^(\int_(0)^(T) \mu_sds$.
Io so che per la regola della catena, data $f=f(x_1,...,x_n)$ dove ogni $x_i=g_i(y_1,...,y_n)$, vale la relazione
$(\partial f)/(\partial y_i)=\sum_(k=1)^(n) (\partial f)/(\partial x_k)\cdot (\partial x_k)/(\partial y_i)$, $forall i=1,...,n$.
Bene. Siano ora $C=C(S_0,K,T)$ e $\bar(C)=\bar(C)(S_0,F_Te^y,w,y,T)$ due funzioni in più variabili a valori reali, dove $F_Te^y:=K$ e dove " $\bar()$ " è ad uso esclusivamente notazionale per distinguere tra loro le due funzioni (sebbene se in realtà afferiscano al medesimo oggetto). Voglio derivare $\bar(C)$ prima in funzione di $y$ e poi in funzione di $T$.
Nel primo caso il docente scrive $(\partial \bar(C))/(\partial y)=(\partial C)/(\partial K)\cdot (\partial K)/(\partial y)$.
Nel secondo caso $(\partial \bar(C))/(\partial T)=(\partial C)/(\partial T)\cdot (\partial T)/(\partial T)+(\partial C)/(\partial K)\cdot (\partial K)/(\partial T)$.
Non capisco: se nel primo caso credo scriva così perchè $\bar(C)$ è funzione di $y$ ma $y$ è a sua volta è funzione dell'unica (?) variabile $K$, nel secondo caso $T$ è solo una variabile dipendente (cioè non dipende da nulla). Perchè applica la regola della catena in quel modo?
Grazie mille in anticipo a chiunque voglia aiutarmi
Risposte
Perché $K$ dipende da $T$...
"Luca.Lussardi":
Perché $K$ dipende da $T$...
Grazie per la risposta Luca. A quale delle due derivate ti riferisci? Se, come credo, ti riferisci alla derivata rispetto a $T$, ne deduco che il ragionamento che ho fatto per la derivata rispetto ad $y$ sia corretto. Quando invece dici che $K$ dipende da $T$, intendi la $T$ all'esponente di $K=ln(K/F^T)$?
Si, $F_T$ dipende da $T$. Comunque nella derivata di $C$ rispetto a $y$ manca la derivata parziale di $C$ rispetto alla sua quarta variabile.
Ho un dubbio su questo (come testimonia il punto interrogativo nel primo messaggio). Il docente pone in realtà come unica variabile $w(y)$, e non $w$ e $y$ due variabili distinte. Seguendo quanto mi hai detto il motivo dovrebbe essere perché $y$ dipende da $K=F_Te^y$ e $K$ è a sua volta variabile dipendente per $w$, quindi (correggimi se sbaglio) nel derivare rispetto ad $y$ usa la chain-rule rispetto a $K$.
La prima cosa da capire è quante variabili indipendenti ha $\bar C$: per come l'hai scritta sembrerebbe avere 5 variabili indipendenti.
Grazie ancora per l'aiuto Luca. Si, in effetti ricontrollando $\bar(C)$ ha, per il momento, solo 3 variabili indipendenti. Dunque $\bar(C)=\bar(C)(S_0,F_Te^(y),T)$. Dico per il momento perché, ahimè, la questione è solo posticipata. Nel proseguio, infatti, si considera la funzione $\bar(C)=\bar(C)(S_0,F_Te^(y),w(y),T)$. Allora, se nel calcolare la derivata prima rispetto ad $y$ si osserva facilmente che $\bar(C)$ dipende sia $K$ che da $w$, a mettermi in difficoltà è il calcolo della derivata seconda.
Il risultato è:
EDIT. Non buio totale ma quasi. Ovvero… Data $(\partial\bar(C))/(\partialy)=(\partialC)/(\partialK)(\partialK)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw)/(\partialy)=(\partialC)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw)/(\partialy)$, si ha:
Non capisco come vengono ottenuti gli ultimi due addendi.
Il risultato è:
$ (\partial^2\bar(C))/(\partial y^2)=(\partial^2C)/(\partial y^2)+(\partial^2 C)/(\partialy\partialw)(\partial w)/(\partial y)+(\partial^2C)/(\partialy\partialw)(\partialw)/(\partial y)+(\partial^2C)/(\partialw^2)(\partialw)/(\partialy)(\partialw)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw^2)/(\partialy^2) $
EDIT. Non buio totale ma quasi. Ovvero… Data $(\partial\bar(C))/(\partialy)=(\partialC)/(\partialK)(\partialK)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw)/(\partialy)=(\partialC)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw)/(\partialy)$, si ha:
$(\partial^2\bar(C))/(\partialy^2)=(\partial)/(\partialy)((\partial\bar(C))/(\partialy))=(\partial)/(\partialy)((\partialC)/(\partialy)+(\partialC)/(\partialw)(\partialw)/(\partialy))=(\partial^2C)/(\partialy^2)+(\partial^2C)/(\partialy\partialw)(\partialw)/(\partialy)+(\partial^2C)/(\partialy\partialw)(\partial w)/(\partial y)$
Non capisco come vengono ottenuti gli ultimi due addendi.
E' importante sapere precisamente quante sono le variabili indipendenti di $\bar C$ però prima di proseguire... qui dici solo 3 ma poi ne scrivi quattro... bisogna capirlo prima di andare avanti.
Ora sono 4: $\bar(C)=\bar(C)(S_0,F_Te^(y),w(y),T)$. In precedenza erano 3 perchè si stava considerando un contingent claim generico funzione di sottostante, forward price e maturity.
Ok, allora facciamo le cose con ordine. Scriviamo $\bar C=\bar C(x_1,x_2,x_3,x_4)$. Ora il tutto va composto con le funzioni $x_1=S_0$ costante, $x_2=F_Te^y=x_2(y,T)$, $x_3=w(y)=x_3(y)$ e $x_4=T$. Poniamo $f(y,T)=\bar C(S_0,x_2(y,T),x_3(y),x_4(T))$. Così vedi meglio che, ad esempio,
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w'(y).
$$
Allo stesso modo fai quella rispetto a $T$.
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w'(y).
$$
Allo stesso modo fai quella rispetto a $T$.
La derivata prima rispetto ad $y$ l'ho svolta. Come da post, è la derivata seconda rispetto ad $y$ che mi sta mettendo in difficoltà. Leggi il mio post precedente.
Rideriviamo
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w'(y)
$$
rispetto a $y$. Si ha
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2^2}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial y})F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_3^2}\frac{\partial x_3}{\partial y})w'(y)+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w''(y)
$$
$$
=(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2^2}F_Te^y+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}w'(y))F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}F_Te^y+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_3^2}w'(y))w'(y)+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w''(y).
$$
$$
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w'(y)
$$
rispetto a $y$. Si ha
$$
\frac{\partial^2 f}{\partial y^2}=(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2^2}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}\frac{\partial x_3}{\partial y})F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}\frac{\partial x_2}{\partial y}+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_3^2}\frac{\partial x_3}{\partial y})w'(y)+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w''(y)
$$
$$
=(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2^2}F_Te^y+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}w'(y))F_Te^y+\frac{\partial \bar C}{\partial x_2}F_Te^y+(\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_2\partial x_3}F_Te^y+\frac{\partial^2 \bar C}{\partial x_3^2}w'(y))w'(y)+\frac{\partial \bar C}{\partial x_3}w''(y).
$$
Mi sono studiato per bene la tua risposta Luca, e nonostante sia stato più di un'ora ad incrociare gli occhi finalmente ci sono arrivato. Grazie mille!
Benissimo, felice di averti aiutato a capire.
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