Chiarimenti sul calcolo della lunghezza di una curva data la legge oraria
Sia $y=f(x) (f:[a,b] rightarrow mathbb{R})$ una funzione $C^1$ e sia $varphi :[a,b] rightarrow mathbb {R}^2$ la curva di componenti $(t,f(t))$, cioè di equazioni parametriche $\{(x=t),(y=f(t)):}$ per ogni $t$ appartenente ad $[a,b]$ .
La curva $varphi$ ha per sostegno il grafico della funzione f.
La sua lunghezza, in base alla tesi del teorema di rettificabilità delle curve $C^1$, è fornita nell'esempio in questione, tratto dal libro Analisi Matematica due di Fusco-Marcellini-Sbordone, come $L(varphi)=int_a^b sqrt(1+(f^1(x))^2)dx$ .
Il problema è che non mi è chiaro (e non c'è scritto) come si sia giunto a questo integrale. Ho naturalmente fatto un mio tentativo, nella fattispecie ho scritto l'equazione oraria in notazione vettoriale,
$varphi (t)=t+f(t)$ , inserendone la derivata (in modulo) nell'integrale che costituisce la tesi del teorema in oggetto, previo cambio di variabile.
Grazie mille per ogni chiarimento, soprattutto di tutto quello che eventualmente ignoro.
La curva $varphi$ ha per sostegno il grafico della funzione f.
La sua lunghezza, in base alla tesi del teorema di rettificabilità delle curve $C^1$, è fornita nell'esempio in questione, tratto dal libro Analisi Matematica due di Fusco-Marcellini-Sbordone, come $L(varphi)=int_a^b sqrt(1+(f^1(x))^2)dx$ .
Il problema è che non mi è chiaro (e non c'è scritto) come si sia giunto a questo integrale. Ho naturalmente fatto un mio tentativo, nella fattispecie ho scritto l'equazione oraria in notazione vettoriale,
$varphi (t)=t+f(t)$ , inserendone la derivata (in modulo) nell'integrale che costituisce la tesi del teorema in oggetto, previo cambio di variabile.
Grazie mille per ogni chiarimento, soprattutto di tutto quello che eventualmente ignoro.
Risposte
Quello che ti posso dare è una spiegazione intuitiva, che forse è quella che vuoi.
Se prendi un tratto infinitesimo di curva, e lo pensi come rettilineo, non è difficile immaginare che il trattino è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come base $dx$ e come altezza $f'(x) dx$.
Ora, calolando la lunghezza dell'ipotenusa e integrando su $[a,b]$, ottieni proprio l'integrale di cui stiamo parlando.
Spero che ti sia più chiaro così.
Se prendi un tratto infinitesimo di curva, e lo pensi come rettilineo, non è difficile immaginare che il trattino è l'ipotenusa di un triangolo rettangolo che ha come base $dx$ e come altezza $f'(x) dx$.
Ora, calolando la lunghezza dell'ipotenusa e integrando su $[a,b]$, ottieni proprio l'integrale di cui stiamo parlando.
Spero che ti sia più chiaro così.
Sì, Quinzio, così mi è definitivamente più chiaro, anche se si tratta di un'intuizione.
In ogni caso ti ringrazio, perché l'integrale mi viene proprio in quel modo.
Evidentemente il mio metodo di ragionare è troppo formale e rigido, ma è con questa richiesta che voglio cominciare ufficialmente a fare della matematica su questo sito. E le grandi cose hanno sempre un piccolo inizio.
In ogni caso ti ringrazio, perché l'integrale mi viene proprio in quel modo.
Evidentemente il mio metodo di ragionare è troppo formale e rigido, ma è con questa richiesta che voglio cominciare ufficialmente a fare della matematica su questo sito. E le grandi cose hanno sempre un piccolo inizio.
Insomma :
$ds^2 = dx^2 + dy^2 ===> ds = sqrt(dx^2 + dy^2) = dxsqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)$
perciò :
$L = \int_a^bds = \int_a^bdxsqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)$
che poi è quello che ha detto Quinzio.
$ds^2 = dx^2 + dy^2 ===> ds = sqrt(dx^2 + dy^2) = dxsqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)$
perciò :
$L = \int_a^bds = \int_a^bdxsqrt(1 + ((dy)/(dx))^2)$
che poi è quello che ha detto Quinzio.
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