Chiarimenti sui numeri Complessi
Ciao, ho da poco cominciato a lavorare con i numeri complessi ed ho qualche problema.
$z=(x+iy)$ -> $x$ è la parte reale e $iy$ quella immaginaria, so ricavarle da numeri tipo $z^4$ o $(z-1)/(z+1)$
ma se ho $x^3$ come faccio a calcolare la parte reale? (ha anche parte immaginaria?) [se fosse $z^3$ risolverei questa $(x+iy)^3$]
e la parte immaginaria di $x^2y$? (ha anche parte reale?)
infine non so calcolare la radice di un numero complesso; esempio in questione $2sqrt(-2i)$
purtroppo il libro non mi aiuta per i casi sopra citati ed in rete non c'è nulla (anche wikipedia dice le stesse cose del libro)
Grazie per qualsiasi risposta
PS: questi problemi scaturiscono da un esercizio che sto risolvendo se serve inserisco il riferimento
$z=(x+iy)$ -> $x$ è la parte reale e $iy$ quella immaginaria, so ricavarle da numeri tipo $z^4$ o $(z-1)/(z+1)$
ma se ho $x^3$ come faccio a calcolare la parte reale? (ha anche parte immaginaria?) [se fosse $z^3$ risolverei questa $(x+iy)^3$]
e la parte immaginaria di $x^2y$? (ha anche parte reale?)
infine non so calcolare la radice di un numero complesso; esempio in questione $2sqrt(-2i)$
purtroppo il libro non mi aiuta per i casi sopra citati ed in rete non c'è nulla (anche wikipedia dice le stesse cose del libro)
Grazie per qualsiasi risposta
PS: questi problemi scaturiscono da un esercizio che sto risolvendo se serve inserisco il riferimento
Risposte
Utilizzando la notazione di De Moivre-Eulero è, con un'enorme abuso di notazione come si vede:
[tex]$2\sqrt{-2i}=\sqrt{-8i}=\Bigg[8;-\frac{\pi}{2}\Bigg]^{\frac{1}{2}}=\Bigg\{\sqrt{8}\Bigg(\cos\Bigg(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\Bigg)+i\sin\Bigg(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\Bigg)\Bigg)\mid k\in\{0;1\}\Bigg\}$[/tex]
Controlla i conti!
EDIT: Per chiarificare ed esemplificare i conti [tex]z=x+iy\in\mathbb{C},\,\begin{cases}z=[\sqrt{x^2+y^2},\arctan\frac{y}{x}]\iff x>0\\z=[\sqrt{x^2+y^2},\arctan\frac{y}{x}+\pi]\iff x<0\\z=[y;\frac{\pi}{2}]\iff x=0\wedge y>0\\z=[-y;-\frac{\pi}{2}]\iff x=0\wedge y<0\end{cases}[/tex]
La regola di calcolo utilizzata è la regola di De Moivre; cfr. http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_complessi#Geometria.
[tex]$2\sqrt{-2i}=\sqrt{-8i}=\Bigg[8;-\frac{\pi}{2}\Bigg]^{\frac{1}{2}}=\Bigg\{\sqrt{8}\Bigg(\cos\Bigg(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\Bigg)+i\sin\Bigg(\frac{-\frac{\pi}{2}+2k\pi}{2}\Bigg)\Bigg)\mid k\in\{0;1\}\Bigg\}$[/tex]
Controlla i conti!
EDIT: Per chiarificare ed esemplificare i conti [tex]z=x+iy\in\mathbb{C},\,\begin{cases}z=[\sqrt{x^2+y^2},\arctan\frac{y}{x}]\iff x>0\\z=[\sqrt{x^2+y^2},\arctan\frac{y}{x}+\pi]\iff x<0\\z=[y;\frac{\pi}{2}]\iff x=0\wedge y>0\\z=[-y;-\frac{\pi}{2}]\iff x=0\wedge y<0\end{cases}[/tex]
La regola di calcolo utilizzata è la regola di De Moivre; cfr. http://it.wikipedia.org/wiki/Numeri_complessi#Geometria.
non pensavo fosse così complicato!non sono a questo livello, il libro neanche ne parla della formula di De Moivre.
Non so proprio come ringraziarti per tutto l'aiuto che mi stai dando, ma lascio perdere questo esercizio, ho l'esame fra qualche giorno e preferisco concentrarmi su altri esercizi.
Ti vorrei chiedere un'ultima cosa se possibile, ovvero se mi potresti far capire come calcolare la parte reale ed immaginaria:
"j18eos":
Ammesso che tale equazione sia corretta (scusa ma adesso non ce la faccio a controllarla), ti devi calcolare quella radice complessa, eguagliare [tex]x^3[/tex] alla sua parte reale e [tex]-x^2y[/tex] alla sua parte complessa e porre tali equazioni a sistema!
"12Aquila":
se ho $x^3$ come faccio a calcolare la parte reale? (ha anche parte immaginaria?) [se fosse $z^3$ risolverei questa $(x+iy)^3$] e la parte immaginaria di $x^2y$? (ha anche parte reale?)
nel sistema dovrei mettere anche la soluzione della radice?
Grazie ancora per tutto!
"12Aquila":
purtroppo il libro non mi aiuta per i casi sopra citati ed in rete non c'è nulla (anche wikipedia dice le stesse cose del libro)
Allora stai sbagliando metodo: piuttosto che cercare strade alternative evitando di capire ciò che il libro dice, fai molto prima a chiedere chiarimenti sulle nozioni di teoria che non capisci dal libro; una volta fatta luce su quelle, gli esercizi dovrebbero essere più facili.
grazie per il suggerimento Raptorista, il problema è che il libro non riporta certi argomenti, per esempio la formula di De Moivre e quindi non sapevo che esisteva, di conseguenza non so risolvere certe situazioni.
comunque in futuro farò sicuramente così.
comunque in futuro farò sicuramente così.
Ma se il libro riporta un esercizio ad un determinato capitolo, sicuramente ti ha già dato gli strumenti per risolverlo.
"Raptorista":
Ma se il libro riporta un esercizio ad un determinato capitolo, sicuramente ti ha già dato gli strumenti per risolverlo.
l'esercizio che ho proposto è di una prova d'esame, non è del libro.
Che libro hai?
j18eos grazie per aver chiarito i cacoli
mgiaff il libro si chiama analisi matematica
mgiaff il libro si chiama analisi matematica
"12Aquila":
mgiaff il libro si chiama analisi matematica
Come il 90% dei libri di analisi matematica
Piccola nota: specifica sempre gli autori!
"12Aquila":
j18eos grazie per aver chiarito i cacoli
Dovere anche per capire la notazione utilizzata dal Donato Greco; Complementi di Analisi Matematica edizione Liguori, casomai tu voglia consultarlo dalla biblioteca dell'università.
"j18eos":
Complementi di Analisi Matematica edizione Liguori, casomai tu voglia consultarlo dalla biblioteca dell'università.
grazie!
gli darò sicuramente un'occhiata!al momento studio su due libri perchè quello di testo dà molto per scontato, ma sicuramente mi aiuterà consultarne un'altro.
Achtung: il libro che ho detto non è più in stampa ed è un libro di analisi complessa, mi riferisco quindi al solo I capitolo; tutt'al più al II!
Una precisazione :
se $ z = x+iy $ allora $ x $ è la parte reale del numero complesso $ z $ e $ y $ è la parte immaginaria sempre di $ z $
con $x,y in RR $
se $ z = x+iy $ allora $ x $ è la parte reale del numero complesso $ z $ e $ y $ è la parte immaginaria sempre di $ z $
con $x,y in RR $
"j18eos":
Achtung: il libro che ho detto non è più in stampa ed è un libro di analisi complessa, mi riferisco quindi al solo I capitolo; tutt'al più al II!
bhè allora per il momento non fa al caso mio"Camillo":
Una precisazione :
se $ z = x+iy $ allora $ x $ è la parte reale del numero complesso $ z $ e $ y $ è la parte immaginaria sempre di $ z $
con $x,y in RR $
Grazie hai chiarito il dubbio che avevo!
quindi non ha significato dire di trovare la parte reale di x, ma x è la parte reale di z e basta (ecco perché non la trovavo da nessuna parte
)
E non ci fai sapere l'autore del tuo libro? xD
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