Chiarimenti su normale a una superficie

[Fausto11]

Ciao a tutti ho dei dubbi quando, negli esercizi di analisi 2 (per es calcoli di flussi, Stokes ecc) leggo cose come normale rivolta verso l'alto. Capisco quando si parla di interno, esterno...ma verso l'alto cosa vuol dire? In quale piano?

Poi un dubbio riguardo questo esercizio:
$ Omega ={(x,y,z) € R^3 : x^2 + y^2 < z < 1} $ e il campo vettoriale $ F(x,y,z) = (xz,xy,1) $. Definendo $ Sigma ={(x,y,x^2 + y^2) € R^3 : x^2 + y^2 < 1} $ e la normale esterna n ad $ Omega $ , calcolare il flusso di F su $ Sigma $.

Io ho svolto l'esercizio e mi viene $ 2* pi /3 $ calcolando la normale come $ n= ((-2rho^2 * cos theta; -2rho^2 * sen theta; rho)) / (rho*(4rho^2 +1)^(1/2)) $. Tuttavia il risultato viene l'opposto, cioè $ -2* pi /3 $

Qualcuno mi sa spiegare cosa sbaglio? Grazie

[Studente Anonimo]

Quella normale è diretta verso l'interno, visto che la terza componente $\rho$ è sempre non negativa.

[Fausto11]

Perché è diretta verso l'interno se è sempre non negativa? Io avrei detto il contrario

[Studente Anonimo]

Si tratta di una regione delimitata da un piano parallelo al piano xy e dal classico paraboloide simmetrico rispetto all'asse z e con vertice in O.

[Fausto11]

Si quello mi torna, ma non trovo il nesso con il fatto che la normale sia interna.
Poi visto che si tratta di normale interna e nn esterna che dovrei fare, metterci un - davanti?

[Studente Anonimo]

Basta cambiare segno alle tre componenti. Per quanto riguarda il verso, ti consiglio di procedere intuitivamente. Se hai presente la figura, in particolare, la superficie del paraboloide:



dovrebbe essere evidente che la normale esterna ha la terza componente sempre negativa.

[Fausto11]

Ok la superficie l'avevo disegnata bene , ma proprio guardandola mi verrebbe da dire che la terza componente (z) è positiva. Perché dici che è ovvio che sia negativa?

[Studente Anonimo]

"Fausto1":
$Omega ={(x,y,z) € R^3 : x^2 + y^2 < z < 1}$ ... e la normale esterna n ad $Omega$ ...

La normale deve puntare verso l'esterno del paraboloide, non verso l'interno, la parte comprendente l'asse z per intenderci.

[Fausto11]

Ti ringrazio per l'aiuto, ma proprio non capisco come, guardando la figura e il versore normale che ho scritto io (oltretutto in coordinate polari), si possa dire che quel versore è orientato verso l'interno del paraboloide.
Ovviamente devo scrivere la normale esterna, quindi e è come dici te devo cambiare segno a quello cbe ho scritto

[Fausto11]

Ah forse semplicemente perché $ rho $ è <1 e quindi è verso il dentro del paraboloide?

[Studente Anonimo]

Veramente, le considerazioni fatte non dipendono dal valore di $\rho$.

[Fausto11]

Allora non ho idea di come fai a capirlo