Chiarimenti su funzioni : definizioni ed integrali

[marthy_92]

Ciao a tutti. Avrei bisogno di alcuni chiarimenti

1) Cosa significa funzione non identicamente nulla ?
E' una funzione che assume sempre un valore diverso da zero?

2) Devo trovare una funzione $ U(x) : R --> R $ di classe $ C ^ 1 $ su $ R$ non identicamente nulla partendo
da questa relazione

$ u'(x)= (-4x)/(1+x^2) u(x) $

Quindi ho svolto questi passaggi

Ho diviso per $ u(x)$ (ecco il perchè della mia prima domanda: sono sicura che la funzione è diversa da zero qualunque
sia il valore della x? )

$ (u'(x))/ (u(x))= (-4x)/(1+x^2)rArr int_()^() (u'(x))/ (u(x))= (-4x)/(1+x^2) dx $

$ rArr log|u(x)| = -2log(1+x^2)+K $

Devo necessariamente mettere il valore assoluto nello scrivere il logaritmo.Nell'eliminare il valore
assoluto posso direttamente scrivere questo?

$ u(x)= (1+x^2)^-2 $

Mi sembra però che la quantità $ -2log(1+x^2)$ non sia sempre positiva

Inoltre in questo passaggio

$ int_()^() (u'(x))/ (u(x))= int_()^()(-4x)/(1+x^2) dx

rArr log|u(x)| = -2log(1+x^2)+K $

dato che ci sono due integrali non dovrebbero comparire due costanti rispettivamente a destra e a sinistra
? Quel K va intesa come somma algebrica delle costanti?

[dott.ing1]

"Marthy_92":
1) Cosa significa funzione non identicamente nulla ?
E' una funzione che assume sempre un valore diverso da zero?

No. Una funzione identicamente nulla assume valore zero per ogni valore della variabile. Una funzione non identicamente nulla assume valori non nulli per qualche valore della variabile, ma niente vieta che si annulli per alcuni valori del dominio.

"Marthy_92":
Ho diviso per $ u(x) $ (ecco il perchè della mia prima domanda: sono sicura che la funzione è diversa da zero qualunque
sia il valore della x? )

Dopo aver valutato che $u(x)=0$ è soluzione stazionaria dell'equazione (ma non accettabile perché identicamente nulla) procedi con lo studio ponendo $u(x)!=0$ e separando le variabili.

A rigore l'integrale di sinistra valutato sulla variabile $u$ viene $int 1/(u(x)) \du=\ln|u(x)|$, essendo $u=u(x) rArr \du=u'(x)\dx $.

"Marthy_92":
$ rArr log|u(x)| = -2log(1+x^2)+K $

Devo necessariamente mettere il valore assoluto nello scrivere il logaritmo.Nell'eliminare il valore
assoluto posso direttamente scrivere questo?

$ u(x)= (1+x^2)^-2 $

Qui hai fatto sparire il logaritmo, uguagliandone gli argomenti. Questo va bene se poni $k=0$, il che è pure legittimo perché il problema ti chiede una $u(x)$ qualsiasi (non hai una condizione al contorno).
In generale, invece, devi considerare anche la costante additiva nel ricavare $u(x)$, ottenendo la generica $u(x)=(k')/(1+x^2)^2$, che restituisce il tuo risultato per il valore $k'=1$.

"Marthy_92":
Mi sembra però che la quantità $ -2log(1+x^2) $ non sia sempre positiva

Quella quantità non è mai positiva. Qual è più precisamente il dubbio?

"Marthy_92":Quel K va intesa come somma algebrica delle costanti?

Sì.