Chiarimenti su funzione integrale
ciao a tutti!
Studiando questo limite: $\lim_{x \to \infty} (int_0^x sent/sqrtt dt)/sqrtx $ mi sono sorti alcuni dubbi.
Ho visto che la funzione integrale convergeva, perciò , visto che radice di x tende a infinito , il rapporto tende a zero, ed il limite è zero
Ma se la funzione integrale convergesse a 0? Allora ho applicato de l'Hopital e ho visto che viene il limite di x che tende ad infinito di $senx$, perciò non esiste tale limite. Bene , in quale ragionamento sbaglio? ( E poi per tendere a zero la funzione integrale vorrebbe dire che : $int_0^1 sent/sqrtt dt + int_1^x sent/sqrtt dt = 0$ cioè che le 2 aree si compensano?)
L'altro dubbio è il seguente, la funzione integrale è comunque un modo per calcolare l'area sottesa alla funzione integranda al variare di x; se è così allora cosa significa tracciare un grafico qualitativo di una funzione integrale?
Cioè se studiando una funzione integrale $F(x) = int_a^x f(t)dt$ se trovo che tende a $pi/2$ per x che tende a infinito, vuol dire che l'area sottesa a $f(t)$ vale $pi/2$ oppure che $F(x)$ ha asintoto orizzontale in $pi/2$ ??
Thanks
Studiando questo limite: $\lim_{x \to \infty} (int_0^x sent/sqrtt dt)/sqrtx $ mi sono sorti alcuni dubbi.
Ho visto che la funzione integrale convergeva, perciò , visto che radice di x tende a infinito , il rapporto tende a zero, ed il limite è zero
Ma se la funzione integrale convergesse a 0? Allora ho applicato de l'Hopital e ho visto che viene il limite di x che tende ad infinito di $senx$, perciò non esiste tale limite. Bene , in quale ragionamento sbaglio? ( E poi per tendere a zero la funzione integrale vorrebbe dire che : $int_0^1 sent/sqrtt dt + int_1^x sent/sqrtt dt = 0$ cioè che le 2 aree si compensano?)
L'altro dubbio è il seguente, la funzione integrale è comunque un modo per calcolare l'area sottesa alla funzione integranda al variare di x; se è così allora cosa significa tracciare un grafico qualitativo di una funzione integrale?
Cioè se studiando una funzione integrale $F(x) = int_a^x f(t)dt$ se trovo che tende a $pi/2$ per x che tende a infinito, vuol dire che l'area sottesa a $f(t)$ vale $pi/2$ oppure che $F(x)$ ha asintoto orizzontale in $pi/2$ ??
Thanks
Risposte
Primo dubbio
Il teorema dell'Hospital vale solo se il limite $lim_(x->oo) (f'(x))/(g'(x))$ esiste, se il rapporto delle derivate non ammette limite, allora non puoi applicare il teorema perché non vale.
Secondo dubbio
Entrambe
Il teorema dell'Hospital vale solo se il limite $lim_(x->oo) (f'(x))/(g'(x))$ esiste, se il rapporto delle derivate non ammette limite, allora non puoi applicare il teorema perché non vale.
Secondo dubbio
Entrambe
Intanto ti ringrazio ,il primo dubbio è chiarito !
Ma in un caso come questo ,come vedo che la funzione integrale non tende a zero , facendo si che il rapporto sia una forma indeterminata?
Secondo dubbio
Quindi diciamo che per una funzione integrale posso fare 2 grafici , uno della funnzione integrale vera e propria , e uno "Dell 'area" sottesa alla funzione integranda. É corretto?
Ma in un caso come questo ,come vedo che la funzione integrale non tende a zero , facendo si che il rapporto sia una forma indeterminata?
Secondo dubbio
Quindi diciamo che per una funzione integrale posso fare 2 grafici , uno della funnzione integrale vera e propria , e uno "Dell 'area" sottesa alla funzione integranda. É corretto?
Hai detto tu stesso che converge! In generale puoi calcolare la primitiva e poi calcolarne il limite,oppure fare considerazioni sulla funzione integranda che ti permettono di giungere ad una conclusione.
Per la seconda domanda: hai presente quando hai una f(x) derivabile e calcoli la derivata? Quando hai una funzione integrale F(x) hai che il grafico dell'area sottesa (con segno) equivale al grafico di f(x), mentre il grafico della funzione integranda f(t) equivale alla derivata di f(x), cioè è il coefficiente angolare in ogni punto della funzione integrale (spero di essermi spiegato bene)
Per la seconda domanda: hai presente quando hai una f(x) derivabile e calcoli la derivata? Quando hai una funzione integrale F(x) hai che il grafico dell'area sottesa (con segno) equivale al grafico di f(x), mentre il grafico della funzione integranda f(t) equivale alla derivata di f(x), cioè è il coefficiente angolare in ogni punto della funzione integrale (spero di essermi spiegato bene)
"Cuppls":
ciao a tutti!
Studiando questo limite: $\lim_{x \to \infty} (int_0^x sent/sqrtt dt)/sqrtx $ mi sono sorti alcuni dubbi.
Ho visto che la funzione integrale convergeva, perciò, visto che radice di x tende a infinito , il rapporto tende a zero, ed il limite è zero
Ciao Cuppls.
Scusa ma come sei arrivato alla conclusione che il limite è nullo?
Io invece vorrei vedere come hai discusso la convergenza della funzione integrale. Nota che, una volta fatta quella, hai finito: se l'integrale fosse nullo, avresti la forma $0/\infty$, che fa abbondantemente $0$. No? Il numeratore tende a zero, quindi tende ad essere molto piccolo, il denominatore tende a infinito, quindi tende a rimpicciolire il numeratore ancora di più. Come ti fa a venire il dubbio che questa cosa non tenda a $0$?
Prima di partire con i procedimenti meccanici fatti una idea delle grandezze che stai manipolando, sennò ti impantani in questi errori.
P.S.: Una osservazione che forse sarà utile. Per dimostrare che il limite fa zero in realtà non occorre che l'integrale sia convergente (fatto di cui non sono affatto sicuro, a meno che tu non abbia sbagliato a digitare la traccia). Basta che la funzione integrale sia limitata.
Prima di partire con i procedimenti meccanici fatti una idea delle grandezze che stai manipolando, sennò ti impantani in questi errori.
P.S.: Una osservazione che forse sarà utile. Per dimostrare che il limite fa zero in realtà non occorre che l'integrale sia convergente (fatto di cui non sono affatto sicuro, a meno che tu non abbia sbagliato a digitare la traccia). Basta che la funzione integrale sia limitata.
Ma nell'integrale a numeratore c'è \(\sin\left(\frac{t}{\sqrt{t}}\right)\) (nel qual caso non capisco perché non si sia scritto direttamente \(\sin\sqrt{t}\)) oppure \(\frac{\sin t}{\sqrt{t}}\)?
L errore che facevo era pensare zero su infinito come forma indeterminata..
Comunque per vedere la convergenza dell integrale l ho spezzato in 2 e per la parte che va a piu infinito ho usato il criterio delle funzioni oscillanti,per la parte che va a zero ho visto che la funzione integranda é un o grande di $1/sqrtt$
Comunque per vedere la convergenza dell integrale l ho spezzato in 2 e per la parte che va a piu infinito ho usato il criterio delle funzioni oscillanti,per la parte che va a zero ho visto che la funzione integranda é un o grande di $1/sqrtt$
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