Chiarimenti su differenziabilità funzione due variabili

[Jabberwocky]

Ciao, ho dei problemi sulle funzioni a due variabili, perciò chiedo aiuto per questo odiosissimo problema per poter fare un po di chiarezza.
Vi scrivo il testo:

Siano:
$ f(x, y) = (3x^2−y^2)*ln(sqrt(x^2+y^2) − 2x) $
$ g(x, y) = \{(f(x, y),(x, y) in Domf),(a,(x, y) notin Domf):} $ con $a in RR$
1) Determinare e disegnare il dominio di $f$
2) Determinare, se esistono, i valori di $a$ per i quali $g$ è continua in $(0, 0)$
3) Determinare, se esistono, i valori di $a$ per i quali $g$ è differenziabile in $(0, 0)$
4) Sia $a = 0$. $g$ è differenziabile nel punto $(1,sqrt3)$?


Allora, sul primo punto non ho grandi problemi, il dominio dovrebbe essere dato da $x^2+y^2>=0$ e $sqrt(x^2+y^2) − 2x>0$ la prima è sempre vera e quindi risolvendo la seconda disequazione irrazionale ottengo $D = x<0 uu {(x>0),(y>sqrt(3)x),(y<-sqrt(3)x):}$

I valori di $a$ al secondo punto dovrebbero essere $a=0$, cioè il valore di $lim_((x, y)->(0, 0)) f(x, y)$, che, correggetemi se sbaglio, posso risolvere così: siccome ho che $lim_(x->0)f(x, 0)=0$ e $lim_(y->0)f(0, y)=0$ allora $lim_((x, y)->(0, 0)) f(x, y)=0$

E qui cominciano i miei problemi: perchè una funzione sia differenziabile in un punto deve avere in quel punto derivate parziali continue no? ma se in $(0,0)$ la funzione $g$ vale $0$ le derivate sono $f_{x}=0$ e $f_{y} =0$ e quindi è differenziabile? Non sono sicuro di questa cosa, mi sembra semplice... devo forse usare quell limitone della definizione di differenziabilità?
Anche sull'ultimo punto ho un po di confusione in testa... Riuscireste a completarmelo spiegandomi bene il perchè delle cose che fate? mi sarebbe di aiuto.
grazie mille in anticipo

[Frink1]

"Jabberwocky":
I valori di $a$ al secondo punto dovrebbero essere $a=0$, cioè il valore di $lim_((x, y)->(0, 0)) f(x, y)$, che, correggetemi se sbaglio, posso risolvere così: siccome ho che $lim_(x->0)f(x, 0)=0$ e $lim_(y->0)f(0, y)=0$ allora $lim_((x, y)->(0, 0)) f(x, y)=0$

No. L'esistenza di un limite in due variabili è più ampia di così. Così hai dimostrato che esistono i limiti lungo due percorsi, in particolare lungo gli assi. Ma un limite in due variabili per esistere deve esistere finito e uguale su qualunque percorso scelto. Ci sono diversi modi per dimostrare la continuità, di solito si usano delle maggiorazioni dell'argomento del limite in modo da trovare una funzione sempre più grande di quella di partenza e una sempre più piccola i cui limiti coincidono. Poi Teorema dei due carabinieri e hai finito.

Per la differenziabilità il discorso è molto più ampio: quello che citi tu si chiama abitualmente Teorema del Differenziale Totale e garantisce la differenziabilità di una funzione a patto che abbia derivate parziali continue. Credo dovresti ripassare un po' la teoria, il concetto stesso di differenziale mi sembra ti sia un po' oscuro... Il limite con cui si definisce la differenziabilità è spesso un buon metodo per dimostrarla, ma anche con quello devi stare attento ed usare gli accorgimenti di cui sopra.

[Jabberwocky]

ah si, è vero, scusa ma è un argomento che ho iniziato ora ed è un po ostico a mio parere, ma ora penso di aver capito come funzionano i limite in 2 variabili: per 'risolverlo' devo vedere quanto vale per ogni possibile percorso e non solo 2 come ho fatto io, chiaramente deve essere uguale per ognuna di esse... anche le coordinate polari vanno bene no?

Per quanto riguarda la differenziabilità è proprio il contrario, la teoria la so, ma poi quando mi si para davanti un esercizio non so bene come rigirarmi...
come hai detto anche te il t. del differenziale totale "garantisce la differenziabilità di una funzione a patto che abbia derivate parziali continue", quindi è giusto quello che ho detto io? (ovvero che: siccome $g_(x)=0$ e $g_(y)=0$ sono continue in (0, 0) la funzione è differenziabile in quel punto. prima ho scritto $f_(x)=0$ e $f_(y)=0$ ma parlavo di $g$).
Non capisco bene

[Frink1]

Sarebbe valido se avessi dimostrato che le derivate parziali valgono $0$ ma non l'hai fatto!
Non puoi calcolare la derivata in $(0,0)$ con le regole usuali di derivazione, visto che in quel punto la funzione vale $a$ ma in un intorno no. Devi calcolare le derivate parziali usando la definizione, se vuoi dimostrarne l'esistenza.

E' molto difficile, di solito, dimostrare che le derivate parziali sono continue in un punto come questo. E' più comune utilizzare la definizione di differenziabilità: una volta controllato se esistono le derivate parziali, puoi scrivere il differenziale (se esiste) come prodotto scalare del gradiente per l'incremento. Così il limite diventa più "fattibile"...
Se invece le derivate parziali non esistono, puoi già concludere che la funzione non è differenziabile, ma questo se conosci la teoria lo sai meglio di me.