Chiarimenti studio di funzioni.

[bigraf]

Mentre studiavo la seguente funzione $ f(x)= ln(x) / (1+ln (x)) $ ,mi sono imbattuto in una contraddizione. Ovvero calcolando la positività,e mi trovo che f(x)>0 in $ (0,e^{-1}) uu (1,+oo ) $ ,ora però visto che la mia funzione non è definita in $ e^{-1} $ vado a verificare se $e^{-1}$ sia un asintoto verticale o meno e mi trovo che a sinistra f(x) tende a $-oo$ e a destra tende a $+oo$,e ciò va in contrasto con quanto studiato nella positività. Ora la mia domanda è: cosa ho sbagliato nel calcolare il limite?

[The_Mad_Hatter]

"BigRaf":Mentre studiavo la seguente funzione $ f(x)= ln(x) / (1+ln (x)) $ ,mi sono imbattuto in una contraddizione. Ovvero calcolando la positività,e mi trovo che f(x)>0 in $ (0,e^{-1}) uu (1,+oo ) $ ,ora però visto che la mia funzione non è definita in $ e^{-1} $ vado a verificare se $e^{-1}$ sia un asintoto verticale o meno e mi trovo che a sinistra f(x) tende a $-oo$ e a destra tende a $+oo$,e ciò va in contrasto con quanto studiato nella positività. Ora la mia domanda è: cosa ho sbagliato nel calcolare il limite?

EDIT:
avevo sbagliato a leggere l'intervallo di positività e ti ho segnalato un errore inesistente! sorry :p

per i limiti è solo un errore di segno... prova a considerare $lim_(x->1/e)ln(x) * lim_(x->1/e)1/(ln(x)+1)$

[bigraf]

Hatter non ho capito il tuo suggerimento... cosa cambia se considero il limite come hai detto tu?

[The_Mad_Hatter]

Ti trovi con il primo limite che è uguale a $-1$ (per la continuità del logaritmo) ed il secondo limite che è più facile da studiare (direi immediato).

Vedrai che per $x->(1/e)^-$, la tua funzione tende a $+oo$ e per $x->(1/e)^+$ a $-oo$, come ti aspettavi.

[bigraf]

C'è se ho capito bene,io sbagliavo nel calcolare $ ln (1 / e)^{+} $ che non fa $-1^{+}$ ma $-1^{-}$ stava tutto lì il mio errore...

[Mathcrazy]

Infatti osserva che:

[tex]$\lim_{x \to \frac{1}{e}^+} \ln{x} = \lim_{x \to \frac{1}{e}^-} \ln{x} = -1$[/tex]

La funzione ha questo andamento:

[asvg]axes();
stroke="blue";
plot("ln(x)/(1+ln(x))");[/asvg]