Chiarimenti pre esame
Vorrei ricevere dei chiarimenti su alcuni esercizi presi da esami di analisi 1.
Es 1) Calcolare, se possibile, la derivata della funzione $F(x):= int_(0)^(2x)(sint)/(1+t) dt $ , $ x in RR $.
Il dubbio è la funzione F(x) è derivabile? in t=-1 la funzione f(t) non è continua quindi se $ x=-1/2 $ non posso calcolare la derivata. E se dovessi calcolare in che intervallo è derivabile? direi comunque che la funzione non è derivabile per $ x< -1/2 $ perchè per l'integrale orientato otteniamo $ -int_(2x)^(0) (sint)/(1+t) dt $ quindi l'intervallo considerato comprenderebbe anche $ -1/2 $. Sto sbagliando?
Es 2)Scrivere i primi tre termini non nulli dello sviluppo din Taylor centrato in 0 della funzione $ f(x)=e^(1+2x^3),x in RR $.
I primi tre termini significa considerando fino alla derivata seconda? Invece di calcolare molte derivate la nostra professoressa considera solo alcuni termini e riesce a scrivere il polinomio di taylor molto velocemente (anche perchè calcolare ad esempio 11 derivate non è molto fattibile), come devo fare quando mi si propone un esercizio del genere?
Es 3) Potreste darmi dei chiarimenti sull'algebra degli o-piccoli e degli O-grandi ?
Grazie in anticipo.
Es 1) Calcolare, se possibile, la derivata della funzione $F(x):= int_(0)^(2x)(sint)/(1+t) dt $ , $ x in RR $.
Il dubbio è la funzione F(x) è derivabile? in t=-1 la funzione f(t) non è continua quindi se $ x=-1/2 $ non posso calcolare la derivata. E se dovessi calcolare in che intervallo è derivabile? direi comunque che la funzione non è derivabile per $ x< -1/2 $ perchè per l'integrale orientato otteniamo $ -int_(2x)^(0) (sint)/(1+t) dt $ quindi l'intervallo considerato comprenderebbe anche $ -1/2 $. Sto sbagliando?
Es 2)Scrivere i primi tre termini non nulli dello sviluppo din Taylor centrato in 0 della funzione $ f(x)=e^(1+2x^3),x in RR $.
I primi tre termini significa considerando fino alla derivata seconda? Invece di calcolare molte derivate la nostra professoressa considera solo alcuni termini e riesce a scrivere il polinomio di taylor molto velocemente (anche perchè calcolare ad esempio 11 derivate non è molto fattibile), come devo fare quando mi si propone un esercizio del genere?
Es 3) Potreste darmi dei chiarimenti sull'algebra degli o-piccoli e degli O-grandi ?
Grazie in anticipo.
Risposte
per il 2 ti dice di scrivere i primi tre termini NON NULLI quindi non saranno necessariamente i primi della serie, in questo caso a me vengono $5/2+4x^3+2x^6$. Comunque non ci sono derivate da calcolare perchè lo sviluppo dell'esponenziale dovresti conoscerlo e ti basta fare qualche conto per considerare la funzione composta.
A me non pare torni cosi
$ e^t=1+t+t^2/2+... $
$ e^(1+2x^3)=e(e^(2x^3))=e(1+2x^3+2x^6+o(x^6))=e+2ex^3+2ex^6+o(x^6) $
Perchè però se faccio la sostituzione immediata, cioè sostituisco $ 1+2x^3 $ in $ e^t $ non torna la stessa cosa
$ e^t=1+(1+2x^3)+(1+2x^3)^2/2 $
La prima dovrebbe essere corretta ma dove sbaglio nella seconda?
$ e^t=1+t+t^2/2+... $
$ e^(1+2x^3)=e(e^(2x^3))=e(1+2x^3+2x^6+o(x^6))=e+2ex^3+2ex^6+o(x^6) $
Perchè però se faccio la sostituzione immediata, cioè sostituisco $ 1+2x^3 $ in $ e^t $ non torna la stessa cosa
$ e^t=1+(1+2x^3)+(1+2x^3)^2/2 $
La prima dovrebbe essere corretta ma dove sbaglio nella seconda?
"niccoset":
A me non pare torni cosi
$ e^t=1+t+t^2/2+... $
$ e^(1+2x^3)=e(e^(2x^3))=e(1+2x^3+2x^6+o(x^6))=e+2ex^3+2ex^6+o(x^6) $
Perchè però se faccio la sostituzione immediata, cioè sostituisco $ 1+2x^3 $ in $ e^t $ non torna la stessa cosa
$ e^t=1+(1+2x^3)+(1+2x^3)^2/2 $
La prima dovrebbe essere corretta ma dove sbaglio nella seconda?
Lo sviluppo che usi è quello di McLaurin, valido quando $t_0=0$ è il punto iniziale. Se sviluppi la funzione che hai scritto, devi fare in modo che l'esponente si sostituisca con qualcosa di infinitesimo: $2x^3$ lo è, mentre non lo è $1+2x^3$. Ecco perché la sostituzione di $t$ con tutto l'esponente non funziona!
l'esercizio diceva sviluppo di Taylor centrato in $ 0 $ della funzione per questo ho utilizzato McLaurin.
Puoi spiegarmi meglio questa cosa:
E' per definizione o ci si arriva tramite ragionamento?
Grazie
Puoi spiegarmi meglio questa cosa:
"ciampax":
Se sviluppi la funzione che hai scritto, devi fare in modo che l'esponente si sostituisca con qualcosa di infinitesimo: 2x3 lo è, mentre non lo è 1+2x3
E' per definizione o ci si arriva tramite ragionamento?
Grazie
Sai cos'è un infinitesimo? La serie di McLaurin è quella che si calcola, appunto, quando la "variabile" è infinitesima: tu vuoi sostituire la $t$ (infinitesima) con $1+2x^3$, che per $x\to 0$ non è infinitesima. Ti pare una cosa logica?
Si certo, è solo che studiando sugli appunti non avevo capito che t doveva essere infintesima. Tutto ciò vale solo per la serie di taylor centrata in 0 ( o di McLaurin ) o può essere centrata in qualsiasi altro punto?
Dunque, la situazione generale è questa: tu hai una funzione $f(x)$ da sviluppare in un intorno del punto $x=x_0$ (non necessariamente l'origine. Dal momento che l'uso degli sviluppi di McLaurin risulta molto comodo, ma che tali sviluppi vanno calcolati in un intorno dell'origine, ci sono due modi possibili di procedere:
1) operare una traslazione $y=x-x_0$ al fine di riportare il tutto ad un intorno dell'origine;
2) una volta fatto questo, utilizzare gli sviluppi di McLaurin noti sostituendo alla variabile $t$ che in essi appare una funzione $\varphi(y)$ che risulti infinitesima per $y\to 0$ (dalla sostituzione precedente).
Ovviamente il passo 1 potrebbe essere superfluo (perché $x_0=0$) e questo ci porta al caso in esame, in cui ha dovuto sostituire $t=2x^3$.
1) operare una traslazione $y=x-x_0$ al fine di riportare il tutto ad un intorno dell'origine;
2) una volta fatto questo, utilizzare gli sviluppi di McLaurin noti sostituendo alla variabile $t$ che in essi appare una funzione $\varphi(y)$ che risulti infinitesima per $y\to 0$ (dalla sostituzione precedente).
Ovviamente il passo 1 potrebbe essere superfluo (perché $x_0=0$) e questo ci porta al caso in esame, in cui ha dovuto sostituire $t=2x^3$.
Grazie, molto preciso.
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