Chiarimenti massimi e minimi
Ciao a tutti,ho dei problemi riguardo i massimi e minimi di una funzione,mi spiego meglio:
a livello teorico ho capito cosa si intende per massimo e minimo(sia relativo che assoluto), il mio problema è la loro ricerca pratica perché molti mi dicono che i massimi e minimi sono i punti in cui la derivata è 0,poi però mi dicono che non è una condizione sufficiente(nel senso che ci possono essere punti in cui la derivata è 0 ma non è ne max ne min) e poi mi dicono che possono esistere punti non derivabili che possono essere massimi e minimi(quest'ultimi ovviamente non escono fuori dalla equazione $f(x)'=0$).
Quindi in pratica avendo una funzione come li devo ricerca questi massimi e minimi?
Da come avete ben capito ho un po' di confusione a riguardo,mi potreste un po' schiarire le idee?
Grazie mille per l'attenzione
a livello teorico ho capito cosa si intende per massimo e minimo(sia relativo che assoluto), il mio problema è la loro ricerca pratica perché molti mi dicono che i massimi e minimi sono i punti in cui la derivata è 0,poi però mi dicono che non è una condizione sufficiente(nel senso che ci possono essere punti in cui la derivata è 0 ma non è ne max ne min) e poi mi dicono che possono esistere punti non derivabili che possono essere massimi e minimi(quest'ultimi ovviamente non escono fuori dalla equazione $f(x)'=0$).
Quindi in pratica avendo una funzione come li devo ricerca questi massimi e minimi?
Da come avete ben capito ho un po' di confusione a riguardo,mi potreste un po' schiarire le idee?
Grazie mille per l'attenzione
Risposte
Inizio dicendoti di postare qualche esempio e di vedere dove vai in difficoltà in modo che possiamo aiutarti, però provo a spiegarti qualcosa a parole mie.
Se la funzione che hai è derivabile, la ricerca di un massimo/minimo passa attraverso $f'(x)=0$.
Tuttavia
ovvero flessi a tangente orizzontale. L'esempio è $f(x)=x^3$ nel punto $x=0$.
Ma non è finita qui
infatti, e l'esempio è $f(x)=|x|$ che ha un minimo in $x=0$ ma in quel punto non è derivabile.
Sperando che ti siano utili gli esempi pratici, spiego a parole mie.
Ricordo che $f'(x)>0$ in un intervallo implica $f(x)$ crescente in esso, $f'(x)<0$ in un intervallo implica $f(x)$ decrescente in esso.
Se hai una funzione derivabile con derivata continua (si dice di classe $C^1$ in questo caso).
Trovi la derivata e vedi quando si annulla. Supponi che si annulla in un punto $x_0$.
- Se prima di $x_0$ la derivata è positiva e poi diventa negativa, $x_0$ è un massimo. In pratica vuol dire che prima di $x_0$ la funzione cresce e poi decresce, dunque in $x_0$ c'è un massimo.
- Se prima di $x_0$ la derivata è negativa e poi è positiva, $x_0$ è un minimo. In pratica vuol dire che prima di $x_0$ la funzione decresce per poi ricrescere, dunque $x_0$ è un minimo.
- Se prima di $x_0$ la derivata è negativa e oppure è positiva e poi anche, allora c'è un flesso perché la funzione non cambia decrescenza/crescenza superando il punto. In pratica $x_0$ non è né massimo né minimo.
Se hai una funzione che possiede un punto (o più) di non derivabilità la questione è più delicata.
Non so spiegartelo bene a parole - e mi spiace - ma comunque puoi vedere la derivata dove esiste e aiutarti con essa nei punti dove non c'è, oppure fai delle considerazioni di carattere generale.
Per esempio, $f(x)=|x|$ ha un minimo per $x=0$ semplicemente perché il valore assoluto è nullo solo quando è nullo il suo argomento, altrimenti è positivo. Dunque se c'è un punto dove si annulla assume minimo perché per il resto è senz'altro $>0$.
"matematicamenteparlando":
il mio problema è la loro ricerca pratica perché molti mi dicono che i massimi e minimi sono i punti in cui la derivata è 0
Se la funzione che hai è derivabile, la ricerca di un massimo/minimo passa attraverso $f'(x)=0$.
Tuttavia
"matematicamenteparlando":
poi però mi dicono che non è una condizione sufficiente(nel senso che ci possono essere punti in cui la derivata è 0 ma non è ne max ne min)
ovvero flessi a tangente orizzontale. L'esempio è $f(x)=x^3$ nel punto $x=0$.
Ma non è finita qui
"matematicamenteparlando":
e poi mi dicono che possono esistere punti non derivabili che possono essere massimi e minimi(quest'ultimi ovviamente non escono fuori dalla equazione $f(x)'=0$).
infatti, e l'esempio è $f(x)=|x|$ che ha un minimo in $x=0$ ma in quel punto non è derivabile.
Sperando che ti siano utili gli esempi pratici, spiego a parole mie.
Ricordo che $f'(x)>0$ in un intervallo implica $f(x)$ crescente in esso, $f'(x)<0$ in un intervallo implica $f(x)$ decrescente in esso.
Se hai una funzione derivabile con derivata continua (si dice di classe $C^1$ in questo caso).
Trovi la derivata e vedi quando si annulla. Supponi che si annulla in un punto $x_0$.
- Se prima di $x_0$ la derivata è positiva e poi diventa negativa, $x_0$ è un massimo. In pratica vuol dire che prima di $x_0$ la funzione cresce e poi decresce, dunque in $x_0$ c'è un massimo.
- Se prima di $x_0$ la derivata è negativa e poi è positiva, $x_0$ è un minimo. In pratica vuol dire che prima di $x_0$ la funzione decresce per poi ricrescere, dunque $x_0$ è un minimo.
- Se prima di $x_0$ la derivata è negativa e oppure è positiva e poi anche, allora c'è un flesso perché la funzione non cambia decrescenza/crescenza superando il punto. In pratica $x_0$ non è né massimo né minimo.
Se hai una funzione che possiede un punto (o più) di non derivabilità la questione è più delicata.
Non so spiegartelo bene a parole - e mi spiace - ma comunque puoi vedere la derivata dove esiste e aiutarti con essa nei punti dove non c'è, oppure fai delle considerazioni di carattere generale.
Per esempio, $f(x)=|x|$ ha un minimo per $x=0$ semplicemente perché il valore assoluto è nullo solo quando è nullo il suo argomento, altrimenti è positivo. Dunque se c'è un punto dove si annulla assume minimo perché per il resto è senz'altro $>0$.
A parte il fatto che la frase " mi dicono che" creandoti più dubbi che certezze, forse ti dovrebbe far intuire che un buon libro di analisi da avre sempre sul comodino... forse è il caso di averlo! 
In ogni modo, partiamo dai fatti noti:
Supponiamo ora di avere un funzione $f:[a;b]\to\RR$ e di voler cercare i massimi e i minimi di $f;$ se $f$ è derivabile si èuò procedere nel segunete modo:
In ogni modo, partiamo dai fatti noti:
Teorema.
Sia $f:(a;b)\to\RR$ una funzione derivabile; allora per ogni $x\in (a;b)$
\begin{align}
f\quad\mbox{cresce}\quad&\Leftrightarrow\quad f'(x)\ge0\\
f\quad\mbox{decrecresce}\quad&\Leftrightarrow\quad f'(x)\le0\\
f'=0\quad\mbox{in $(a;b)$}\quad&\Leftrightarrow\quad f\quad\mbox{costante in $(a;b)$} .
\end{align}
Supponiamo ora di avere un funzione $f:[a;b]\to\RR$ e di voler cercare i massimi e i minimi di $f;$ se $f$ è derivabile si èuò procedere nel segunete modo:
[*:1pznjhg4] si calcolano $f(a)$ e $f(b);$[/*:m:1pznjhg4]
[*:1pznjhg4] si calcola $f'(x)$ e si risolve l'equazione
\[f'(x)=0;\]
in tal modo si trovano i punti stazionari di $f,$ tra i quali vi saranno i punti di massimo e minimo relativi interni ad $(a;b);$[/*:m:1pznjhg4]
[*:1pznjhg4] se non ci sono punti stazionari, $f(a)$ e $f(b)$ sono punti di massimo o minimo relativi; viceversa, se $x=x_0$ è un punto stazionario, occorre stabilirne la natura (massimo o minimo). A tale scopo si può :
[*:1pznjhg4] studiare il segno di $f'$ in un intorno del punto $x_0$ ricordando il teorema sopra si hanno i seguneti casi:
[/*:m:1pznjhg4][*:1pznjhg4] studiare le derivate successive e osservare che
\begin{align}
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0 \quad\mbox{e}\quad f''(x_0)\ge0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di minimo;}\\
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0 \quad\mbox{e}\quad f''(x_0)\le0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di massimo;} \\
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0,f''(x_0)=0 \quad\mbox{e}\quad f'''(x_0)\ge0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di minimo;} \\
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0,f''(x_0)=0 \quad\mbox{e}\quad f'''(x_0)\le0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di massimo;}\\
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0,f''(x_0)=0,f'''(x_0) \quad\mbox{e}\quad f^{4}(x_0)\ge0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di minimo;} \\
\quad\mbox{se}\quad f'(x_0)=0,f''(x_0)=0,f'''(x_0) \quad\mbox{e}\quad f^{4}(x_0)\le0\quad&\Rightarrow\quad\mbox{ $x_0$ è punto di massimo;}\\
.....
\end{align}[/*:m:1pznjhg4][/list:u:1pznjhg4][/*:m:1pznjhg4]
[*:1pznjhg4]Trovati gli eventuali punti estremo locale, si calcola il valore di $f$ in questi punti e lo si confronta con $f(a)$ e $f(b).$[/*:m:1pznjhg4][/list:u:1pznjhg4]
@Zero87:
scusa , non hon visto che stavi rispondendo, pardon!
scusa , non hon visto che stavi rispondendo, pardon!
"Noisemaker":
@Zero87:
scusa , non hon visto che stavi rispondendo, pardon!
Non preoccuparti, anzi, la tua risposta è qualitativamente eccellente, soprattutto rispetto alla mia.
"Zero87":
[quote="Noisemaker"]@Zero87:
scusa , non hon visto che stavi rispondendo, pardon!
Non preoccuparti, anzi, la tua risposta è qualitativamente eccellente, soprattutto rispetto alla mia.
[/quote]ma non è vero!!!!
è chiarissimo quanto hai scritto, con tanto di esempi!
Ciao a tutti,scusate se vi rispondo a tutti ora solo che non ho avuto molto tempo in questi giorni.Comunque la questione ora mi è molto più chiara.
Inoltre stavo facendo degli esercizi in merito tra cui questo:
"Sia $f(x) = e^x − 2x + 1$. Determinare massimo e minimo di f nell’intervallo $[0, 2]$"
ora io ho impostato la $f'(x)=0$ e ho trovato un punto di minimo $x=log2$,poi ho calcolato la funzione agli estremi dell'intervallo ed ho trovato:
$f(0)=2$
$f(2)=4,39$
Da cui ho concluso che:
$x=log2$ è un minimo assoluto e $x=2$ un massimo assoluto, è giusto fin qui?
Inoltre mi è sorto un dubbio $x=0$ cos'è un massimo o un minimo?
Vi ringrazio ancora per la disponibilità e pazienza e buon natale
Inoltre stavo facendo degli esercizi in merito tra cui questo:
"Sia $f(x) = e^x − 2x + 1$. Determinare massimo e minimo di f nell’intervallo $[0, 2]$"
ora io ho impostato la $f'(x)=0$ e ho trovato un punto di minimo $x=log2$,poi ho calcolato la funzione agli estremi dell'intervallo ed ho trovato:
$f(0)=2$
$f(2)=4,39$
Da cui ho concluso che:
$x=log2$ è un minimo assoluto e $x=2$ un massimo assoluto, è giusto fin qui?
Inoltre mi è sorto un dubbio $x=0$ cos'è un massimo o un minimo?
Vi ringrazio ancora per la disponibilità e pazienza e buon natale
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