Chiarimenti Curve e integrazione

[BHK1]

Studiando la teoria delle Curve e del loro calcolo di integrazione, mi sono bloccato su alcune parti che non riesco a capire.
Presa una curva $gamma:[a,b]->RR^2$ (regolare e semplice) che associa a un valore di t ($t in [a,b]$), un punto sul piano x,y.

1)Per ogni valore di t, $gamma$ associa un punto (x,y) o un vettore?
2)Quando faccio l'integrale di una funzione di linea come questa sto calcolando l'area?, in altre parole;
facendo l'integrale trovo l'area che sottende la curva come in una normale funzione $f(x)?$

[BHK1]

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[dissonance]

1) \(\gamma\) associa ad ogni valore del parametro \(t\) il vettore di posizione di un punto nel piano. Infatti in fisica si usa spesso la notazione \(\vec{r}(t)\) invece di \(\gamma(t)\).

2) Dipende da cosa stai integrando. Se calcoli l'integrale di una funzione scalare definita su una curva, allora sì, stai calcolando una area. E' la stessa cosa di quando hai un intervallo solo che ora questo intervallo non è necessariamente bello dritto, può curvarsi di quà e di là.

[BHK1]

Ad esempio con la curva $gamma:[a,b]->RR^2, t in[0,1]$ con parametrizzazione $ ( ( x=t ),( y=t ) )$
quando la integro, trovo l'area?

E poi non ho capito bene come arriva alla formula dell'integrazione, cioè..
data una partizione(P) dell'intervallo [a,b] $(a=t_0

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[dissonance]

"BHK":Ad esempio con la curva $gamma:[a,b]->RR^2, t in[0,1]$ con parametrizzazione $ ( ( x=t ),( y=t ) )$
quando la integro, trovo l'area?

Ma cosa significa "integrare una curva"? Si integrano funzioni definite su una curva, oppure campi vettoriali, o forme differenziali, lungo una curva.

E poi non ho capito bene come arriva alla formula dell'integrazione, cioè..
data una partizione(P) dell'intervallo [a,b] $(a=t_0
Esatto.

[BHK1]

allora se $||gamma(t_(i+1))-gamma(t_i)||$ è la distanza del segmento:
$ sum_(i = 0)^(n) ||gamma(t_(i+1))-gamma(t_i)|| $ è l'intera lunghezza della curva (approssimata).

più la partizione è "stretta" più si avvicina all'effettiva lunghezza della curva, ma come passo alle somme di Reimann, prima, e all'integrale definito come $ int_(a)^(b) gamma^{\prime}(t) dt $, poi ?