Chi si vuol divertire con un prob di cauchy?

[ansioso]

$\{(y'=5y+6e^(3x)-29sen2x),(y(0)=4):}$ E' del tipo lineare quindi determino la primitiva $A(x)=\int a(x)=\int 5dx=5x$

la soluzione sarebbe

$y(x)=e^(A(x)) \int e^(-A(x))b(x) + ce^(A(x))$

Determino $ \int e^(-A(x))b(x) =\int e^(-5x)6e^3x \ - \ \int e^-5x(-58 senx) $

Svolgo il primo integrale...
$6\int e^-2x=-1/2 \ 6 \ \int -2e^(-2x)0=$-3e^(-2x)+c$

Svolgo il secondo... per parti

$\int e^(-5x)(-58)senx=-58\int e^(-5x)senx$ $f'(x)=senx\ =>\ f(x)=-cosx$ $g(x)=e^(-5x) \ => \ g(x)'=-5e^(-5x)$

$-58(-cosx -e^(-5x) - \int cosx 5e^(-5x) )$ $f'(x)=cos x\ =>\ f(x)=sen x$ $g(x)=5e^(-5x) \ => \ g(x)'=-25e^(-5x)$

$\ \ ... \ (senx 5e^(-5x) + 25 \int e^(-5x)senx $
Ponendo $I=\int e^(-5x)senx$ ottengo che l'integrale inziale (cioè il secondo) è
$-58I=-cosx e^(-5x) - senx5e^(-5x) - 25I \ => \ I=(-e^(-5x)/-33)(cosx - 5senx)$

Dopo tutto sto bordello posso scrivere che la soluzione del problema iniziale è data da
$y(x)=e^(5x)(-3e^(-2x))(e^(-5x)/33(cosx+5senx))+e^(-5x)c$
Andando a sostituire per determinare la c abbimo che
$4=1(-3)(1/33(1+0))+c$ da cui $c=4+1/11=45/11$

Dato che non ho un risultato per verificare se è giusto o meno spero di trovare qualche volenteroso che non è andato a mare

[Gi81]

"ansioso":$y'=5y+6e^(3x)-29sen(2x) ...
$ int e^(-5x)(-58 senx) $

Scusa ma secondo te $sin(2x)=2sin(x)$?

[ansioso]

momentaneamente si...

ma ora che mi ci fai pensare $sen2x=2sinxcosx$