Chi mi spiega la dimostrazione del teorema di Lagrange?
Ciao, sto impazzendo per capire il teorema di Langrange. Fin'ora sono arrivato alla conclusione che le ipotesi sono che f deve essere continua e derivabile in [a,b]. Cio' implica che Esiste c appartenente ad ]a,b[ tale che [f(b)-f(a)]/[(b-a)] = f'(c).
Poi c'e' la dimostrazione che non riesco a capire. La stavo vedendo su wikipedia http://it.wikiversity.org/wiki/Teorema_ ... _di_Cauchy
e mi sono bloccato a quando g(x) diventa g(a).
Secondo cio' che e' scritto, g(x) sarebbe la retta che passa per AB. Poi compare anche h(x) che e' la differenza tra le due funzioni, cioe' la funzioni sono due, e per trovare l'una o l'altra si aggiunge/sottrae h(x)? Poi non so come arriva al passaggio successivo dopo compare g(a). Grazie per l'aiuto.
Poi c'e' la dimostrazione che non riesco a capire. La stavo vedendo su wikipedia http://it.wikiversity.org/wiki/Teorema_ ... _di_Cauchy
e mi sono bloccato a quando g(x) diventa g(a).
Secondo cio' che e' scritto, g(x) sarebbe la retta che passa per AB. Poi compare anche h(x) che e' la differenza tra le due funzioni, cioe' la funzioni sono due, e per trovare l'una o l'altra si aggiunge/sottrae h(x)? Poi non so come arriva al passaggio successivo dopo compare g(a). Grazie per l'aiuto.
Risposte
Dopo aver definito $h(x)$ semplicemente vuole calcolare esplicitamente i valori numerici $g(a),g(b)$. In questo modo, come vedi dopo, mostra che $h(a)=h(b)$, che è una delle ipotesi del teorema di Rolle. Lo scopo della costruzione di $g$ e poi di $h$ è appunto di ricondursi in qualche modo ad una funzione che soddisfi Rolle per poterlo poi applicare... Con la funzione $f$ non puoi farlo direttamente, quindi devi fare qualche passaggio in più. Chiaro?
Paola
Paola
Il teorema di Lagrange recita cosi:
Sia $f:[a,b]\to \RR$ una funzione continua e derivabile almeno in $(a,b);$ allora esiste almeno un punto $\xi\in(a,b)$ tale che
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]
Dimostrazione
L'idea della dimostrazione è quella di ricondursi con un artificio al teorema di Rolle; per fare ciò consideriamo una funzione ausiliaria $F(x)$ definita come
\[F(x)=f(x)- g(x)\]
dove la funzione $g(x)$ la scegliamo molto semplice, polinomiale di primo grado, cioè una retta (come si dice "affine") e tale che
\[f(a)=g(a),\qquad f(b)=g(b)\]
cioè vogliamo che la funzione $g$ agli estremi dell'intervallo coincida con la funzione $f$ in modo tale che la funzione $F(x)$ che abbiamo costruito risulti nulla agli estremi: infatti per come abbiamo costruito la $g$ abbiamo che
\[F(a)=f(a)-g(a)=0,\qquad F(b)=f(b)-g(b)=0\]
allora la scelta di questa funzione $g$ è obbligata perchè se vogliamo che sia polinomiale di primo grado, dovrà essere la retta secante che passa per i punti $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b),$ e dunque, ricordando dalla geometria analitica l'equazione di una retta passante per due punti:
\begin{align}\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\qquad&\to\qquad\frac{x-a}{b-a}=\frac{g(x)-f(a)}{f(b)-f(a)}\\
&g(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{align}
Verifichiamo che la scelta della $g$ sia corretta:
se $x=a$ abbiamo sostituendo:
\begin{align} g(a)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)\end{align}
se $x=b$ abbiamo sostituendo:
\begin{align} g(b)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)\end{align}
la funzione $g$ è correttamente costruita; a questo punto la funzione $F(x)$ è uguale a:
\begin{align} F(x) &=f(x)-g(x)\\
&=f(x)-f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{align}
questa funzione $F(x)$ verifica le ipotesi del torema di Rolle, in quanto agli estremi come abbiamo già notato si annulla, e dunque verifica anche la tesi del teorema di Rolla: cioè esiste un punto $\xi$ in cui la derivata prima di annulla:
\[\exists\quad \xi\in(a,b): F'(\xi)=0\]
allora
\begin{align} F'(x) =f'(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}
e appunto per il teorema di Rolle
\begin{align}\exists\quad \xi\in(a,b): F'(\xi) =0\quad& \Rightarrow\quad F'(\xi)=f'(\xi)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\
&\Rightarrow\quad f'(\xi) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}
che è quanto volevamo.
Sia $f:[a,b]\to \RR$ una funzione continua e derivabile almeno in $(a,b);$ allora esiste almeno un punto $\xi\in(a,b)$ tale che
\[\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\]
Dimostrazione
L'idea della dimostrazione è quella di ricondursi con un artificio al teorema di Rolle; per fare ciò consideriamo una funzione ausiliaria $F(x)$ definita come
\[F(x)=f(x)- g(x)\]
dove la funzione $g(x)$ la scegliamo molto semplice, polinomiale di primo grado, cioè una retta (come si dice "affine") e tale che
\[f(a)=g(a),\qquad f(b)=g(b)\]
cioè vogliamo che la funzione $g$ agli estremi dell'intervallo coincida con la funzione $f$ in modo tale che la funzione $F(x)$ che abbiamo costruito risulti nulla agli estremi: infatti per come abbiamo costruito la $g$ abbiamo che
\[F(a)=f(a)-g(a)=0,\qquad F(b)=f(b)-g(b)=0\]
allora la scelta di questa funzione $g$ è obbligata perchè se vogliamo che sia polinomiale di primo grado, dovrà essere la retta secante che passa per i punti $A=(a,f(a))$ e $B=(b,f(b),$ e dunque, ricordando dalla geometria analitica l'equazione di una retta passante per due punti:
\begin{align}\frac{x-x_A}{x_B-x_A}=\frac{y-y_A}{y_B-y_A}\qquad&\to\qquad\frac{x-a}{b-a}=\frac{g(x)-f(a)}{f(b)-f(a)}\\
&g(x)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{align}
Verifichiamo che la scelta della $g$ sia corretta:
se $x=a$ abbiamo sostituendo:
\begin{align} g(a)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(a-a)=f(a)\end{align}
se $x=b$ abbiamo sostituendo:
\begin{align} g(b)=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(b-a)=f(b)\end{align}
la funzione $g$ è correttamente costruita; a questo punto la funzione $F(x)$ è uguale a:
\begin{align} F(x) &=f(x)-g(x)\\
&=f(x)-f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\end{align}
questa funzione $F(x)$ verifica le ipotesi del torema di Rolle, in quanto agli estremi come abbiamo già notato si annulla, e dunque verifica anche la tesi del teorema di Rolla: cioè esiste un punto $\xi$ in cui la derivata prima di annulla:
\[\exists\quad \xi\in(a,b): F'(\xi)=0\]
allora
\begin{align} F'(x) =f'(x)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}
e appunto per il teorema di Rolle
\begin{align}\exists\quad \xi\in(a,b): F'(\xi) =0\quad& \Rightarrow\quad F'(\xi)=f'(\xi)- \frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\\
&\Rightarrow\quad f'(\xi) =\frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}
che è quanto volevamo.
adesso e' tutto chiaro! grazie!
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