Chi mi illumina?

[cricket1]

Ciao a tutti! Premettendo che la matematica non è assolutamente la mia materia ma sono costretto a sostenere l'esame all'università, c'è qualche anima buona che in questa torrida estate può aiutarmi a capire alcune cose?

Ho queste due funzioni:

1) $ Log|(x-2)/(2-|x-1|)|

2) $ (Logx+1)/(Logx+2)

Per ognuna mi servirebbe conoscere l'insieme di definizione e i valori assunti per F(x)>0 e F(x)=0 per poter conoscere la positività e l'intersezione con gli assi.

Ovviamente una spiegazione "passo passo" sarebbe gradita e mi aiuterebbe a capire cosa fare in caso di funzioni che presentano il logaritmo.

Vi ringrazio!

[codino75]

intanto:
la funzione log(z) e' definita se e solo se per z>0.

[codino75]

inoltre:
il quoziente $a/b$ e' definito se e solo se b diverso da 0.

[codino75]

quindi , detto dio', per la prima funzione l'insieme di definizione sara' per le x tali che:

1) $|(x-2)/(2-|x-1|)|>0$ <---> $(x-2) / (2-|x-1|)$ diverso da 0 ---> x diverso da 2

2) 2-|x-1| diverso da 0 <---> x diverso da 3 e x diverso da -1

quindi, l'insieme di definizione, salvo errori sara':

x diverso da -1, 2, 3

spero chiaro

[cricket1]

Ottimo! E fino qui ho capito il come e il perchè...

Aspetto con ansia il resto, soprattutto le positività!

[codino75]

per la positivita' della funzione, cioe' per trovare gli intervalli della x per cui la funzione e' positiva, con riguardo alla prima funzione:
bisogna osservare il grafico della funzione log(x) cioe' :
log(x) >0 per x>1
log(x) =0 per x=1
log(x) <0 per 0
quindi lo studio in questione si riduce a studiare la disequazione seguente:
$|(x-2)/(2-|x-1|)|>1$

[codino75]

sempre con riguardo alla prima funzione:
osserviamo che :

| a | > k se e solo se a > k oppure a < -k

quindi per 'togliere' il valore assoluto esterno otteniamo 2 disequazioni (per ora ) ):

1) $(x-2)/(2-|x-1|)>1$

2) $(x-2)/(2-|x-1|)<-1$

si dovra' considerare l'unione delle soluzioni di queste 2 diseq.

[codino75]

ciascuna delle 2 disequazioni si deve 'spezzare' in 2 , in quanto e' presente un'altro valore assoluto:
ricordando che
|a|=a se a >0
|a|=-a se a<0

otteniamo:

1):
1a) $(x-2)/(2-(x-1))>1$ per $x-1>0$ cioe' per $x>1$

1b) $(x-2)/(2+(x-1))>1$ per $x-1<0$ cioe' per $x<1$

2):
analogamente a sopra.


ottengo 2 coppie di disequazioni:
coppia 1):
1a)
1b)

coppia 2):
2a)
2b)

esempio di soluzione della prima coppia, cioe' 1a) e 1b)
1a) $(x-2)/(2-(x-1))>1$ <-----> $(x-2)>(2-(x-1))$ <---> $(x-2)>(3-x)$ <---> $x>5/2$ (soluzione valida in x>1)

1b) $(x-2)/(2+(x-1))>1$ <-----> $(x-2)>(2+(x-1))$ <---> $(x-2)>(1+x)$ <---> $-2>1$ <--> MAI (soluzione valida in x<1)

riassumendo:
1) $x>5/2$

analogamente va fatto per 2)