Chi mi aiuta a risolvere questo limite?
\(\displaystyle \lim \) per
\(\displaystyle x \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
\(\displaystyle x (log(x+2) - log(x+1)) - x^2 (e^{\frac{1}{x^2}} - cos (\frac{1}{x})) \)
mi conviene spezzare \(\displaystyle f(x) \) poichè il limite di una differenza è uguale alle differenza dei limiti? e poi usare taylor?
\(\displaystyle x \rightarrow \) \(\displaystyle \infty \)
\(\displaystyle x (log(x+2) - log(x+1)) - x^2 (e^{\frac{1}{x^2}} - cos (\frac{1}{x})) \)
mi conviene spezzare \(\displaystyle f(x) \) poichè il limite di una differenza è uguale alle differenza dei limiti? e poi usare taylor?
Risposte
\(\displaystyle - x^2 (e^{\frac{1}{x^2}} - cos (\frac{1}{x})) \) cioè il secondo pezzo di \(\displaystyle f(x) \) mi viene \(\displaystyle -\frac{3}{2} \)...
"davidedesantis":
\(\displaystyle - x^2 (e^{\frac{1}{x^2}} - cos (\frac{1}{x})) \) cioè il secondo pezzo di \(\displaystyle f(x) \) mi viene \(\displaystyle -\frac{3}{2} \)...
Puoi spezzare quella somma solo se non sei in presenza di una forma indeterminata ($+oo - oo$ ). Se hai calcolato correttamente il limite del secondo addendo, allora puoi usare il teorema del limite di una somma.
Se vuoi una conferma sul risultato ottenuto posta i passaggi.
il secondo pezzo con taylor fino a \(\displaystyle n=2 \) viene:
\(\displaystyle -x^2(1 + \frac{1}{x^2} + o(x^2) - 1 + \frac{1}{2x^2} + o(x^2)) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle -x^2(\frac{3x^2}{2} + o(x^2)) \) \(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{-\frac{3x^4}{2} + o(x^4)}{x^4} \) \(\displaystyle = \)\(\displaystyle -\frac{3}{2} \)
\(\displaystyle -x^2(1 + \frac{1}{x^2} + o(x^2) - 1 + \frac{1}{2x^2} + o(x^2)) \) \(\displaystyle = \) \(\displaystyle -x^2(\frac{3x^2}{2} + o(x^2)) \) \(\displaystyle = \)\(\displaystyle \frac{-\frac{3x^4}{2} + o(x^4)}{x^4} \) \(\displaystyle = \)\(\displaystyle -\frac{3}{2} \)
Il primo pezzo seneca come si risolve?
consigli?
Sviluppando per $[x->oo]$:
$x[log(x+2)-log(x+1)]-x^2[e^(1/x^2)-cos(1/x)]=$
$=xlogx+xlog(1+2/x)-xlogx-xlog(1+1/x)-x^2e^(1/x^2)+x^2cos(1/x)=$
$=xlog(1+2/x)-xlog(1+1/x)-x^2e^(1/x^2)+x^2cos(1/x)=$
$=x(2/x+o(1/x))-x(1/x+o(1/x))-x^2(1+o(1))+x^2(1+o(1))=$
$=2+o(1)-1+o(1)-x^2+o(x^2)+x^2+o(x^2)=$
$=1+o(1)$
$x[log(x+2)-log(x+1)]-x^2[e^(1/x^2)-cos(1/x)]=$
$=xlogx+xlog(1+2/x)-xlogx-xlog(1+1/x)-x^2e^(1/x^2)+x^2cos(1/x)=$
$=xlog(1+2/x)-xlog(1+1/x)-x^2e^(1/x^2)+x^2cos(1/x)=$
$=x(2/x+o(1/x))-x(1/x+o(1/x))-x^2(1+o(1))+x^2(1+o(1))=$
$=2+o(1)-1+o(1)-x^2+o(x^2)+x^2+o(x^2)=$
$=1+o(1)$
quindi il risultato finale è \(\displaystyle -\frac{1}{2} \)? su wolfram alpha dice così...
Comunque non avevo pensato che spezzando i logaritmi, \(\displaystyle logx \) si sarebbe semplificato. Grazie
Comunque non avevo pensato che spezzando i logaritmi, \(\displaystyle logx \) si sarebbe semplificato. Grazie
"davidedesantis":
quindi il risultato finale è \(\displaystyle -\frac{1}{2} \)?
In che senso? Il risultato è $[1]$. Sei sicuro di aver seguito il mio procedimento?
C'è anche il secondo pezzo...
si adesso l'ho risolto, il primo pezzo spezzando i logaritmi e sviluppando fino al grado \(\displaystyle n=1 \) il risultato è \(\displaystyle 1 \) e il secondo pezzo, che dovrebbe essere giusto viene \(\displaystyle -\frac{3}{2} \)....quindi viene \(\displaystyle -\frac{1}{2} \)...no?
"Seneca":
C'è anche il secondo pezzo...
Una bella cappella! Da cartellino rosso. Grazie dell'indulgenza.
"davidedesantis":
si adesso l'ho risolto, il primo pezzo spezzando i logaritmi e sviluppando fino al grado \(\displaystyle n=1 \) il risultato è \(\displaystyle 1 \) e il secondo pezzo, che dovrebbe essere giusto viene \(\displaystyle -\frac{3}{2} \)....quindi viene \(\displaystyle -\frac{1}{2} \)...no?
Scusami, mi ero fermato troppo presto nello sviluppo del secondo pezzo.
Figurati...grazie che mi hai fatto capire come risolvere il primo pezzo!!! 
"davidedesantis":
Figurati...grazie che mi hai fatto capire come risolvere il primo pezzo!!!
Troppo buono. Tra l'altro, questo dimostra anche che non avevo letto con sufficiente attenzione i tuoi primi messaggi. Mai essere troppo sicuri di se stessi.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo