Chi è \(\text{d}f\)
Ciao, amici! Sono qui con una domanda che senz'altro avrà una risposta scontata per quasi tutti in questo forum -dico quasi perché io sono l'eccezione-, ma mi si perdoni perché sono un autodidatta con un curriculum strettamente umanistico.
Trovo spesso la notazione \(\text{d}F\), \(\text{d}t\) e simili sui testi di fisica e, per esempio nella descrizione degli aspetti termodinamici delle reazioni chimiche, di chimica.
Ora, so che in geometria \(\text{d}F\) rappresenta la 1-forma differenziale che associa al punto $x_0\in X$ il differenziale della funzione differenziabile \(F:X\to\mathbb{R}\) in quel punto, cioè è l'applicazione\[\text{d}F:T_{x_0}(X)\to\mathbb{R},\quad p\mapsto F_{\ast x_0}\]Noto che, se $X$ è un aperto di \(\mathbb{R}^n\), \(\text{d}F(x_0)(\mathbf{v})=\mathbf{v}(F)_{x_0}\) è la derivata direzionale di $F$ in $x_0$.
Un altro caso di utilizzo della notazione \(\text{d}X_i\) che conosco viene dall'algebra: \(\text{d}X_i\) è l'elemento della base del modulo \(\Omega_{R[\mathfrak{X}]/R}^1\) dei differenziali relativi di $R[\mathfrak{X}]$ su $R$, cioè l'immagine attraverso la $R$-derivazione associata \(d_{R[\mathfrak{X}]/R}:R[\mathfrak{X}]\to \Omega_{R[\mathfrak{X}]/R}^1\) della variabile $X_i$, componente di indice $i$ del sistema \(\mathfrak{X}\).
Dall'analisi, data una funzione \(F:U\to \mathbb{R}\) con $U$ aperto di $\mathbb{R}$, conosco la definizione di \(\text{d}x (h)=h\) come funzione lineare dell'incremento $h$ e \(\text{d}F\) come funzione definita da \(\text{d}F (h)=F'(x_0)h\) dove \(F'(x_0)\) è la derivata di $F$ in $x_0$. Quindi direi che \(\text{d}F\) è una funzione \(U'\mapsto \mathbb{R}\) dove \(U'=\{h\in\mathbb{R}:h+x_0\in U\}\).
Quando troviamo espressioni di tipo \(\text{d}F\), \(\text{d}x\) e simili nei testi per esempio di fisica, che interpretazione si deve dare ad esse, rigorosamente parlando?
$\infty$ grazie e buone feste a tutti!!!
EDIT: messo un esponende a $\mathbb{R}$ dove l'avevo dimenticato. Intanto ringrazio gli intervenuti finora.
Trovo spesso la notazione \(\text{d}F\), \(\text{d}t\) e simili sui testi di fisica e, per esempio nella descrizione degli aspetti termodinamici delle reazioni chimiche, di chimica.
Ora, so che in geometria \(\text{d}F\) rappresenta la 1-forma differenziale che associa al punto $x_0\in X$ il differenziale della funzione differenziabile \(F:X\to\mathbb{R}\) in quel punto, cioè è l'applicazione\[\text{d}F:T_{x_0}(X)\to\mathbb{R},\quad p\mapsto F_{\ast x_0}\]Noto che, se $X$ è un aperto di \(\mathbb{R}^n\), \(\text{d}F(x_0)(\mathbf{v})=\mathbf{v}(F)_{x_0}\) è la derivata direzionale di $F$ in $x_0$.
Un altro caso di utilizzo della notazione \(\text{d}X_i\) che conosco viene dall'algebra: \(\text{d}X_i\) è l'elemento della base del modulo \(\Omega_{R[\mathfrak{X}]/R}^1\) dei differenziali relativi di $R[\mathfrak{X}]$ su $R$, cioè l'immagine attraverso la $R$-derivazione associata \(d_{R[\mathfrak{X}]/R}:R[\mathfrak{X}]\to \Omega_{R[\mathfrak{X}]/R}^1\) della variabile $X_i$, componente di indice $i$ del sistema \(\mathfrak{X}\).
Dall'analisi, data una funzione \(F:U\to \mathbb{R}\) con $U$ aperto di $\mathbb{R}$, conosco la definizione di \(\text{d}x (h)=h\) come funzione lineare dell'incremento $h$ e \(\text{d}F\) come funzione definita da \(\text{d}F (h)=F'(x_0)h\) dove \(F'(x_0)\) è la derivata di $F$ in $x_0$. Quindi direi che \(\text{d}F\) è una funzione \(U'\mapsto \mathbb{R}\) dove \(U'=\{h\in\mathbb{R}:h+x_0\in U\}\).
Quando troviamo espressioni di tipo \(\text{d}F\), \(\text{d}x\) e simili nei testi per esempio di fisica, che interpretazione si deve dare ad esse, rigorosamente parlando?
$\infty$ grazie e buone feste a tutti!!!
EDIT: messo un esponende a $\mathbb{R}$ dove l'avevo dimenticato. Intanto ringrazio gli intervenuti finora.
Risposte
Premetto che seguirò con interesse questa discussione... ma forse che può interessarti quest'altra (senza che incollo i link che avevo scritto nell'altro post)?
viewtopic.php?p=814572#p814572
Grazie per gli auguri che ricambio volentieri, buone feste ai forumisti anche da parte mia.
EDIT
Grazie Fioravante: avevo proprio sbagliato link!
viewtopic.php?p=814572#p814572
Grazie per gli auguri che ricambio volentieri, buone feste ai forumisti anche da parte mia.
EDIT
Grazie Fioravante: avevo proprio sbagliato link!
Se facessimo il "the best of" degli argomenti, questo sul differenziale sarebbe sicuramente l'argomento dell'anno. 
"DavideGenova":
...
Quando troviamo espressioni di tipo \(\text{d}F\), \(\text{d}x\) e simili nei testi per esempio di fisica, che interpretazione si deve dare ad esse, rigorosamente parlando?
...
Nulla, rigorosamente parlando.
Il \(\text{d}x\) costoro vorrebbero fosse un \(\Delta x\) piccolissimissimo, diciamo un infinitesimo.
tu ti accosti vai lì per vedere
e ti accorgi che fondo non han
E tu t'agiti, gridi ti muovi
e gli urli che stanno affondando
ma ti guardano tutti ridendo
non è cosa che faccia per lor.(*)
Non c'è niente da fare, a loro fa comodo così.
Lasciano il lavoro sporco ai matematici, come nelle equadiff a variabili separabili...
Pure qualcosa potrebbero fare, che magari gli piacerebbe anche:
viewtopic.php?f=36&t=25256&p=814500#p814500
(*)P. Pietrangeli
PS: a Zero87, non è che hai sbagliato link?
Studiando termodinamica, è frequente imbattersi in scritture come $\delta Q$ e $\delta W$, che vengono chiamati differenziali non esatti.
Ora, so che una 1-forma differenziale \(\omega\) in senso geometrico (si veda la prima definizione che ho citato nel post originale) è un'applicazione che associa ad ogni punto \(x_0\in X\) un funzionale lineare\[\omega(x_0):T_{x_0}(X)\to\mathbb{R}\] dove \(T_{x_0}(X)\) è lo spazio tangente alla \(\partial\)-varietà differenziabile $X$ in $x_0$ e tale forma differenziale è esatta quando esiste una forma differenziale \(\theta\) tale che \(\omega=\text{d}\theta\) sia la sua derivata esterna (cfr. E. Sernesi, Geometria 2, p. 368).
Tuttavia, alla luce di quanto spiegatomi qui da Fioravante e da quanto letto nelle mie ricerche sul forum (in particolare i post di lisdap, che, dopo aver accettato che in matematica esistono funzioni e prima di cominciare a con il trollaggio politico, si poneva secondo me interrogativi che sarebbero stati costruttivi se avesse accettato le risposte che ad essi riceveva), non credo che sia propriamente questa l'interpretazione che si dà a scritture come $\delta Q$ in fisica, e direi piuttosto che quanto spiega Fioravante per il caso \(\text{d}f\) valga anche nel caso di tali "forme differenziali": semplicemente notazioni utilizzate per descrivere intuitivamente "infinitamente piccole" variazioni.
Giusto?
Grazie per ogni conferma (o eventuale smentita)!
Ora, so che una 1-forma differenziale \(\omega\) in senso geometrico (si veda la prima definizione che ho citato nel post originale) è un'applicazione che associa ad ogni punto \(x_0\in X\) un funzionale lineare\[\omega(x_0):T_{x_0}(X)\to\mathbb{R}\] dove \(T_{x_0}(X)\) è lo spazio tangente alla \(\partial\)-varietà differenziabile $X$ in $x_0$ e tale forma differenziale è esatta quando esiste una forma differenziale \(\theta\) tale che \(\omega=\text{d}\theta\) sia la sua derivata esterna (cfr. E. Sernesi, Geometria 2, p. 368).
Tuttavia, alla luce di quanto spiegatomi qui da Fioravante e da quanto letto nelle mie ricerche sul forum (in particolare i post di lisdap, che, dopo aver accettato che in matematica esistono funzioni e prima di cominciare a con il trollaggio politico, si poneva secondo me interrogativi che sarebbero stati costruttivi se avesse accettato le risposte che ad essi riceveva), non credo che sia propriamente questa l'interpretazione che si dà a scritture come $\delta Q$ in fisica, e direi piuttosto che quanto spiega Fioravante per il caso \(\text{d}f\) valga anche nel caso di tali "forme differenziali": semplicemente notazioni utilizzate per descrivere intuitivamente "infinitamente piccole" variazioni.
Giusto?
Grazie per ogni conferma (o eventuale smentita)!
"DavideGenova":
Studiando termodinamica, è frequente imbattersi in scritture come $\delta Q$ e $\delta W$, che vengono chiamati differenziali esatti.
Ora, so che una 1-forma differenziale \(\omega\) in senso geometrico (si veda la prima definizione che ho citato nel post originale) è un'applicazione che associa ad ogni punto \(x_0\in X\) un funzionale lineare\[\omega(x_0):T_{x_0}(X)\to\mathbb{R}\] dove \(T_{x_0}(X)\) è lo spazio tangente alla \(\partial\)-varietà differenziabile $X$ in $x_0$ e tale forma differenziale è esatta quando esiste una forma differenziale \(\theta\) tale che \(\omega=\text{d}\theta\) sia la sua derivata esterna (cfr. E. Sernesi, Geometria 2, p. 368).
Tuttavia, alla luce di quanto spiegatomi qui da Fioravante e da quanto letto nelle mie ricerche sul forum (in particolare i post di lisdap, che, dopo aver accettato che in matematica esistono funzioni e prima di cominciare a con il trollaggio politico, si poneva secondo me interrogativi che sarebbero stati costruttivi se avesse accettato le risposte che ad essi riceveva), non credo che sia propriamente questa l'interpretazione che si dà a scritture come $\delta Q$ in fisica, e direi piuttosto che quanto spiega Fioravante per il caso \(\text{d}f\) valga anche nel caso di tali "forme differenziali": semplicemente notazioni utilizzate per descrivere intuitivamente "infinitamente piccole" variazioni.
Giusto?
Grazie per ogni conferma (o eventuale smentita)!
Ciao,
scusa ma dovrebbe essere il contrario...$\delta Q$ e $\delta W$ sono, in generale (a meno che non sia nota la particolare trasformazione eseguita dal sistema), differenziali non esatti (rappresentano "quantità infinitesime" di calore e lavoro), mentre, per esempio, la loro differenza (o la loro somma, a seconda della convenzione sui segni adottata) è il differenziale esatto
$$
dU=\delta Q-\delta W
$$
(energia interna)...proprio perché è il differenziale di una funzione di stato (cioé dello stato termodinamico) U definita a meno di costanti.
Riferimenti:
G. Boato, Termodinamica, CEA
G. De Marco, Analisi 2/2, DECIBEL (Cap. IX, paragrafo 4, Esempio 2: "Le forme della termodinamica (dei gas perfetti)")
Saluti
Uh, sì 
, grazie, Alessio, è stato un lapsus. Comunque, credo che la mia interpretazione di essi sia corretta e che non si dia loro un'interpretazione matematicamente rigorosa a differenza di quella dell'applicazione $\omega$ che ho descritto, come fa notare Fioravante per \(\text{d}f\) (l'unica differenza è la presenza di $\delta$ al posto di $\text{d}$, direi): giusto?
, grazie, Alessio, è stato un lapsus. Comunque, credo che la mia interpretazione di essi sia corretta e che non si dia loro un'interpretazione matematicamente rigorosa a differenza di quella dell'applicazione $\omega$ che ho descritto, come fa notare Fioravante per \(\text{d}f\) (l'unica differenza è la presenza di $\delta$ al posto di $\text{d}$, direi): giusto?
"DavideGenova":
Uh, sì
Beh, sono (modellizzate come) forme...e come sai non tutte le forme sono esatte...se ti capita di dare un'occhiata all'esempio (che ho citato) svolto sul De Marco dovrebbe essere più chiaro che interpretazione si dà a questi "delta" (o anche, a seconda dei testi, "d tagliato")...ci si fanno anche dei conti (del tutto legittimi) sopra, non sono solo "rappresentazioni intuitive".
Il $\text{d}$ ("d dritto") è usato per quelle forme che sono effettivamente forme esatte (cioè differenziali, o derivate esterne, se preferisci, di altre forme).
In termodinamica esempi tipici di differenziali esatti sono i differenziali delle funzioni di stato: (temperatura, volume, pressione) energia interna, entalpia, energie libere di Helmholtz e di Gibbs ed entropia...sono differenziali, in generale, non esatti (perché non provengono da funzioni di stato, ma dipendono dalla particolare trasformazione seguita) calore e lavoro (una volta però che la trasformazione è stata fissata si possono, in linea di principio, scrivere anche le espressioni analitiche dei differenziali ad essi associati).
Ciao
"alessio76":
ci si fanno anche dei conti (del tutto legittimi) sopra, non sono solo "rappresentazioni intuitive".
Ovviamente non metto minimamente in dubbio la legittimità fisica di tali operazioni, ma sulle forme differenziali in senso geometrico che ho definito sopra, ho visto fare operazioni come la somma \((\omega_1+\omega_2)(x_0):=\omega_1(x_0)+\omega_2(x_0)\) e il prodotto \((\omega_1\wedge\omega_2)(x_0):=\omega_1(x_0)\wedge\omega_2(x_0)\), ma non per esempio la divisione $\frac{\omega_1}{\omega_2}$, mentre ho visto $\frac{\delta Q}{\text{d} T}$, che, invece, con un'interpretazione di "infinitesimo", non mi crea particolari problemi. Non sono certo quindi di seguirti...
Grazie di cuore ancora!
"DavideGenova":
[quote="alessio76"]ci si fanno anche dei conti (del tutto legittimi) sopra, non sono solo "rappresentazioni intuitive".
Ovviamente non metto minimamente in dubbio la legittimità fisica di tali operazioni, ma sulle forme differenziali in senso geometrico che ho definito sopra, ho visto fare operazioni come la somma \((\omega_1+\omega_2)(x_0):=\omega_1(x_0)+\omega_2(x_0)\) e il prodotto \((\omega_1\wedge\omega_2)(x_0):=\omega_1(x_0)\wedge\omega_2(x_0)\), ma non per esempio la divisione $\frac{\omega_1}{\omega_2}$, mentre ho visto $\frac{\delta Q}{\text{d} T}$, che, invece, con un'interpretazione di "infinitesimo", non mi crea particolari problemi. Non sono certo quindi di seguirti...
Grazie di cuore ancora![/quote]
Scusa per il ritardo della risposta.
Ora credo di capire meglio il senso dei tuoi post.
Le manipolazioni "corrette" che citavo sono quelle che puoi trovare, eg, sul De Marco...
Scritture del tipo $\frac{\delta Q}{\text{d} T}$ mi sembrano rientrare a pieno titolo nello spirito del "metodo urang-utang"
http://www.fioravante.patrone.name/mat/u-u/it/equazioni_differenziali_a_variabili_separabili_e_urang-utang.pdf
e quindi penso che, a rigore, non abbiano significato (come mi pare sia sostanzialmente già stato scritto in altri post)...è però vero che forniscono spesso un modo veloce (forse anche euristico?) per riottenere risultati corretti dimostrati (o dimostrabili) per altra via; l'esempio trattato in dettaglio da Fioravante del caso delle equazioni a variabili separabili mi sembra illustrare bene quello che succede.
Osservo poi che il "metodo" "urang-utang", illustrato da Fioravante, è "sponsorizzato" (o almeno ricordato) anche su testi di Analisi (non solo di Fisica...) rigorosi e/o molto diffusi come:
Bramanti, Pagani, Salsa, Analisi matematica 2 (p. 6, presentato come strategia per "ricordare");
Apostol, Calcolo volume primo (p. 412);
Gilardi, Analisi uno (p. 611, oss 1.8, vecchia ed; ove però si dice chiaramente che "i passaggi sono ingiustificati");
Bacciotti, Ricci, Analisi matematica 1 (Cap. 11, par 2, p. 419);
Fedele, Corso di analisi matematica (Vol 2 parte 2, pag. 337);
Marcellini, Sbordone, Analisi matematica uno (p. 430, presentato come strategia per "ricordare");
i vari Zwirner-Scaglianti per i licei...;
mi pare (ma vado a memoria) che questo "trucco" non venga citato né da G. De Marco né da E. Giusti (ma, appunto, posso sbagliare, non ho controllato).
Che dire?
Boh, a me non piace particolarmente...alla fine porta (di solito, se "applicato correttamente") a risultati corretti, ma mi sembra che si perda il controllo di quello che realmente accade e del perché la cosa funziona...
Per la tua domanda su che significato dare a questi "differenziali" usati in questo modo, che tanto è inevitabili trovarli usati così in testi di Fisica, Chimica e a volte anche di Matematica, personalmente direi "ragionamenti euristici" (e allora pensiamoli pure come piccoli incrementi...ma anche questo non basta a rendere ragione di tutti i passaggi...) per ritrovare qualcosa che è già stato dimostrato (con argomentazioni corrette) oppure per intuire relazioni ancora da dimostrare per altra via...di fatto però in genere, se posso, li evito...
Incidentalmente osservo che, per quanto si cerchi di essere precisi e coerenti, si trovano imprecisioni ed "errori" più frequentemente di quanto si pensi (per esempio: il "dx" nell'integrale definito/indefinito dell'analisi 1 potrebbe pure, o forse dovrebbe, non esserci...ma è "comodo", e poi si salda bene col discorso integrali delle 1-forme (che però non vengono, in genere, introdotte in analisi uno)...; la "costante" additiva nell'integrale indefinito è, più precisamente, una funzione localmente costante...; la "linearità" dell'integrale indefinito nasconde qualche piccolo tranello...innocuo, eppure...).
Scusa se ti sono sembrato "categorico" nel post precedente, non ce ne era alcuna intenzione.
Saluti
Io, personalmente, cerco di ragionare in termini di derivate ogni volta che mi trovo davanti a cose tipo $\text{d}f$ cercando nelle formule il differenziale della variabile indipendente, come $\text{d}t$, per cui divido mentalmente allora tutta la formula. Tuttavia, nel caso di $Q$ che non è una funzione le cose sono più complicate...
$\infty$ grazie, Alessio!!!
$\infty$ grazie, Alessio!!!
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