Che vuol dire "dense embedding"?

[dissonance]

Ho trovato questo:

Let [tex]X[/tex] and [tex]Y[/tex] be two Banach spaces such that [tex]X \hookrightarrow Y[/tex] with dense embedding.

Che significa?

[a_g_t]

In generale (non solo quando si parla di spazi normati) un embedding è una aplicazione injettiva che preserva la struttura f : X --> Y.

In questo caso possiamo vedere X come un sottospazio normato di Y, identificando X con la sua immagine f(X). E questo sottospazio è denso in Y.

[dissonance]

Bene, grazie. Per fare un esempio l'applicazione identica $(C[0, 1], ||*||_{\infty}) \to (L^1 [0, 1], ||*||_1)$ è un dense embedding, se non mi sbaglio.

[ViciousGoblin]

Io ho sempre sentito usare "embedding" come "immersione continua" , qundi per dire che $Y$ e' "embedded in $X$" deve essere $Y\subset X$ e l'applicazione di inclusione deve essere continua. Se si aggiuge "dense" si indica che $Y$ e' denso in $X$ (ovviamente nella topologia di $X$). In effetti il simbolo di inclusione con la freccina (che non so come inserire) indica proprio l'inclusione continua. Puo' pero' ben darsi che il termine sia usato anche in senso piu' generale intendendo che esiste una mappa continua da $i:Y\to X$ - in questo caso pero' "dense" non sembra tanto sensato, a meno che non si intenda che $i(Y)$ e' denso in $X$.

@dissonance Esatto , l'applicazione identica .... e' un "dense embedding"