Che si intende per funzione continua da $ \mathbb{R}^M $ a $ \mathbb{R}^N $ ?

[FemtoGinny]

Ragazzi, credo che questa mi perplessità sia ancora più da noob delle precedenti...ecco non mi è ben chiaro che si intende per funzione continua da $ \mathbb{R}^M $ a $ \mathbb{R}^N $ ? Nel senso, è diversa questa formulazione da quella classica $ \mathbb{R} -> \mathbb{R} $ ? Grazie mille in anticipo ^^

[dan952]

Immagino tu voglia sapere se si può estendere in maniera simile al caso $f : RR \mapsto RR$ la definizione di continuità...
Si puó provare che sia $\ul(f): \RR^n \mapsto RR^m$ un campo vettoriale ($m>1$), cioè $\ul(f)=(f_1(\ul(x)),f_2(\ul(x)),...,f_m(\ul(x)))$, allora $\ul(f)$ è continua in un punto se e solo se ogni campo scalare $f_1(\ul(x)),f_2(\ul(x)),...,f_m(\ul(x))$ è continuo in quel punto.

[FemtoGinny]

Ti ringrazio ^^ In realtà il mio dubbio era ancora più elementare... semplicemente la N e la M che si trovano come apici di $ \mathbb{R} $ ..cosa stanno ad indicare? Due spazi diversi? Grazie per la pazienza xS

[dan952]

Spiegati meglio, che intendi?
$RR^n$ sta ad indicare uno spazio vettoriale di dimensione $n$ sul campo $RR$.

[Sk_Anonymous]

"FemtoGinny":Ti ringrazio ^^ In realtà il mio dubbio era ancora più elementare... semplicemente la N e la M che si trovano come apici di $ \mathbb{R} $ ..cosa stanno ad indicare? Due spazi diversi? Grazie per la pazienza xS

Insiemisticamente parlando, \(\mathbb{R}^N\) è il prodotto cartesiano di \(N\) copie di \(\mathbb{R}\), i.e. \[\mathbb{R}^N = \underbrace{\mathbb{R} \times \dots \times \mathbb{R}}_{\text{N volte}} = \{(x_1, \dots, x_N) \, : \, x_i \in \mathbb{R}, \ i=1, \dots , N \}. \]

[FemtoGinny]

Ma quindi c'è qualche differenza tra $ \mathbb{R}^N $ e $ \mathbb{R}^M $ ? Nel mio esempio, il dominio e il codominio della funzione continua sono quindi due spazi vettoriali diversi?

[Sk_Anonymous]

"FemtoGinny":Ma quindi c'è qualche differenza tra $ \mathbb{R}^N $ e $ \mathbb{R}^M $ ? Nel mio esempio, il dominio e il codominio della funzione continua sono quindi due spazi vettoriali diversi?

Sono diversi se \(N \ne M\). Prova a visualizzare (un esempio del)la situazione con un caso semplice (in cui \(N=2\) e \(M=1\)): la funzione somma. La funzione somma "prende in input due numeri reali e ne restituisce (output) la somma algebrica"; in termini questa funzione è \[s : \mathbb{R} \times \mathbb{R} = \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \]definita da \[\mathbb{R} \times \mathbb{R} \ni (x_1,x_2) \mapsto x_1 + x_2 \in \mathbb{R}. \]

[FemtoGinny]

Grazie mille! E diventato tutto più chiaro ^^