Che integrale è?
Ciao 
Ho la "legge di Ampère-Laplace" che da questo integrale --- \(\gamma\) è una curva --- \[\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_\gamma \frac{I \mathrm d \mathbf s \times (\mathbf x - \mathbf r)}{\lVert \mathbf x - \mathbf r \rVert ^3} .\]
La mia domanda è, forse stupida, ma a questo punto tanto vale farsela: che integrale è? come è definito? Ho visto e so come sono definiti integrali del tipo \[\int_\gamma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf x ,\] con il "prodotto scalare" \(\cdot\), ma non con il "prodotto vettore" \(\times\), come in \[\int_\gamma \mathbf F \times \mathrm d \mathbf x .\]
Ho la "legge di Ampère-Laplace" che da questo integrale --- \(\gamma\) è una curva --- \[\mathbf B = \frac{\mu_0}{4\pi} \int_\gamma \frac{I \mathrm d \mathbf s \times (\mathbf x - \mathbf r)}{\lVert \mathbf x - \mathbf r \rVert ^3} .\]
La mia domanda è, forse stupida, ma a questo punto tanto vale farsela: che integrale è? come è definito? Ho visto e so come sono definiti integrali del tipo \[\int_\gamma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf x ,\] con il "prodotto scalare" \(\cdot\), ma non con il "prodotto vettore" \(\times\), come in \[\int_\gamma \mathbf F \times \mathrm d \mathbf x .\]
Risposte
Ciao kaspar,
Direi un integrale di linea, trattandosi della circuitazione del campo magnetico...
"kaspar":
[...] che integrale è? [...]
Direi un integrale di linea, trattandosi della circuitazione del campo magnetico...
"kaspar":
...come è definito? Ho visto e so come sono definiti questi integrali del tipo \[\int_\gamma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf x ,\] con il "prodotto scalare" \(\cdot\), ma non con il "prodotto vettore" \(\times\), come in \[\int_\gamma \mathbf F \times \mathrm d \mathbf x .\]
Non so se è questo che vuoi chiedere: da quanto so, se i vettori non dipendono dalla variabile di integrazione vale che $\int_a^b (\vec{v} \times \vec{w}) \text{d}x= \vec{v} \times (\int_a^b \vec{w} \text{d}x\right)$, quindi credo che (almeno in questo caso specifico in cui non c'è dipendenza) semplicemente si debba interpretare come il prodotto vettoriale tra un vettore e un integrale di un vettore (che, per definizione, è il vettore avente come componenti gli integrali delle singole componenti).
Nel caso generale credo che vada calcolato il prodotto vettoriale e vadano integrate le componenti che, stavolta, sono proprio quelle del prodotto vettoriale; ma non ci metterei la mano sul fuoco, magari aspetta anche altre conferme.
$d\bb s $ e' un vettore tangente ad un tratto infinitesimo di un circuito in cui scorre una corrente $I$.
La lunghezza del vettore $d\bb s $ e' quindi $ds$.
La curva $\gamma$ coincide con il percorso del circuito.
$\bb x - \bb r$ e' un vettore che congiunge il punto $\bb r$ (che sarebbe il punto del circuito considerato prima) con il punto $\bb x$ (di cui si vuole conoscere il campo magnetico).
Il prodotto scalare tra i due vettori $d \bb s \times (\bb x - \bb r)$ e' quindi un vettore di lunghezza infinitesima e perpendicolare ai due vettori del prodotto vettoriale.
L'integrale lungo la curva fa quindi la somma di questi vettori di lunghezza infinitesima. L'argomento dell'integrale e' una quantita' vettoriale.
Spero che sia un po' piu' chiaro cosi'.
La lunghezza del vettore $d\bb s $ e' quindi $ds$.
La curva $\gamma$ coincide con il percorso del circuito.
$\bb x - \bb r$ e' un vettore che congiunge il punto $\bb r$ (che sarebbe il punto del circuito considerato prima) con il punto $\bb x$ (di cui si vuole conoscere il campo magnetico).
Il prodotto scalare tra i due vettori $d \bb s \times (\bb x - \bb r)$ e' quindi un vettore di lunghezza infinitesima e perpendicolare ai due vettori del prodotto vettoriale.
L'integrale lungo la curva fa quindi la somma di questi vettori di lunghezza infinitesima. L'argomento dell'integrale e' una quantita' vettoriale.
Spero che sia un po' piu' chiaro cosi'.
Ok, provo a rispiegarmi. Non è tanto la legge fisica di Ampère-Laplace che mi interessa, ma come un integrale del genere sia definito. Per esempio, se ho una curva \(\gamma : [a,b] \to X\) e un campo vettoriale \(\mathbf F : X \to \mathbb R^3\), l'integrale di linea è così assegnato: \[\underbrace{\int_\gamma \mathbf F \cdot \mathrm d \mathbf x}_{\text{integrale di forma differenziale}} := \underbrace{\int_a^b \mathbf F(\gamma (t)) \cdot \gamma^\prime (t) \mathrm d t}_{\text{integrale di Riemann}} .\]
Direi un integrale di linea, trattandosi della circuitazione del campo magnetico...[/quote] 
Ok... e quindi precisamente cos'è l'integrale di \(\mathbf F \times \mathrm d \mathbf x\)? Come è definito l'integrale di questa cosa?
Capite cosa voglio sapere?
"pilloeffe":
Ciao kaspar,
[quote="kaspar"] [...] che integrale è? [...]
Direi un integrale di linea, trattandosi della circuitazione del campo magnetico...
[/quote] Ok... e quindi precisamente cos'è l'integrale di \(\mathbf F \times \mathrm d \mathbf x\)? Come è definito l'integrale di questa cosa?Capite cosa voglio sapere?
Si mi sembra di aver capito e ho cercato di darti una risposta.
In altre parole e' un integrale di linea su un campo vettoriale.
Se poi preferisci sommare (integrare) separatamente le 3 componenti dei vettori, sfruttando la linearita', allora l'integrale diventa la somma di 3 banali integrali secondo Riemann, nulla di piu' complesso.
In altre parole e' un integrale di linea su un campo vettoriale.
Se poi preferisci sommare (integrare) separatamente le 3 componenti dei vettori, sfruttando la linearita', allora l'integrale diventa la somma di 3 banali integrali secondo Riemann, nulla di piu' complesso.
La domanda é del tutto legittima e propria di qualcuno che sta studiando con attenzione. Nessuno ha mai definito $F\times dx$ in un corso precedente di analisi, quindi bisogna andare un po' a sentimento. Funziona sempre scrivere il tutto in coordinate; interpretando \(d\vec x=dx e_x + dy e_y + dz e_z, \) si ha che
\[
\vec F\times d\vec x = (F_y dx - F_x dy) e_z + \ldots\]
e quindi si puó riscrivere l'integrale \(\int_\gamma \vec F \times d \vec x\) come somma di tre integrali di linea di forme differenziali, ciascuno corrispondente a una componente di un vettore. Questo tra l'altro é stato giá detto da tutti i commenti precedenti.
Questo va benissimo, ma potrebbe essere un po' insoddisfacente per i puristi che vogliono definizioni piú invarianti possibile. Inoltre, é un po' piú fastidioso, con questa definizione, cambiare coordinate; ad esempio, se io volessi usare coordinate polari, come dovrei riscrivere il mio integrale? É chiaro che c'é qualcosa sotto e che qualcuno deve essersi posto il problema di sistematizzare questo genere di calcoli. La teoria che c'é dietro é quella delle forme differenziali e un buon libro dove leggere di queste robe é il Frankel, "The Geometry of Physics". A un livello piú elementare c'é il bellissimo libretto di Schey "Div, Grad, Curl and all of that", che é stato molto importante per me.
\[
\vec F\times d\vec x = (F_y dx - F_x dy) e_z + \ldots\]
e quindi si puó riscrivere l'integrale \(\int_\gamma \vec F \times d \vec x\) come somma di tre integrali di linea di forme differenziali, ciascuno corrispondente a una componente di un vettore. Questo tra l'altro é stato giá detto da tutti i commenti precedenti.
Questo va benissimo, ma potrebbe essere un po' insoddisfacente per i puristi che vogliono definizioni piú invarianti possibile. Inoltre, é un po' piú fastidioso, con questa definizione, cambiare coordinate; ad esempio, se io volessi usare coordinate polari, come dovrei riscrivere il mio integrale? É chiaro che c'é qualcosa sotto e che qualcuno deve essersi posto il problema di sistematizzare questo genere di calcoli. La teoria che c'é dietro é quella delle forme differenziali e un buon libro dove leggere di queste robe é il Frankel, "The Geometry of Physics". A un livello piú elementare c'é il bellissimo libretto di Schey "Div, Grad, Curl and all of that", che é stato molto importante per me.
@dissonance
Personalmente non mi sono mai fatto scrupoli a trattare un prodotto esterno su una forma differenziale come un prodotto vettoriale (o pseudo vettoriale?):
$Fxxdvec(x)=| ( vec(i) , vec(j) , vec(k) ),( F_x , F_y , F_z ),( dx , dy , dz ) |$
...e questo mi porta a dire che forse c'è un errore di segno in quanto hai scritto.
P.S. Mi sto segnando dei libri (fra cui il tuo) per la vecchiaia!
Personalmente non mi sono mai fatto scrupoli a trattare un prodotto esterno su una forma differenziale come un prodotto vettoriale (o pseudo vettoriale?):
$Fxxdvec(x)=| ( vec(i) , vec(j) , vec(k) ),( F_x , F_y , F_z ),( dx , dy , dz ) |$
...e questo mi porta a dire che forse c'è un errore di segno in quanto hai scritto.
P.S. Mi sto segnando dei libri (fra cui il tuo) per la vecchiaia!
Sisi, può darsi che il segno sia sbagliato, certamente. Quei libri ti potrebbero piacere, specie quello di Frankel, ma non so quanto ti interessi la geometria.
"dissonance":
Quei libri ti potrebbero piacere, specie quello di Frankel, ma non so quanto ti interessi la geometria.
Al contrario! Io "visualizzo" tutto geometricamente!
E' proprio il Frankel che ha attratto la mia attenzione.
Da un lato sono attratto dalla topologia tout court ma la mia indolenza è dura da sconfiggere. Ma la topologia differenziale mi attrae assai di più...e mi sarà più facile vincere la pigrizia.
Quindi se tu dici che è un buon testo, me lo segno!
"dissonance":L'avevo intuito.
[...] quindi bisogna andare un po' a sentimento.
Grazie di tutto a tutti, e dei testi proposti.
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