Che forma indeterminata viene?
$lim_(x -> -oo) (\sqrt{2x^2 + x + 2}) / (x+2)$
A me viene, sostituendo:
$lim_(x -> -oo) (\sqrt{2(-oo)^2 + (-oo) + 2}) / (-oo +2)$
Ora, al numeratore, $(-oo)^2$ è $+oo$ giusto?
Quindi verrebbe $(oo - oo) / (-oo)$
Ma da questo, che formula indeterminata ricavo? Perchè a occhio sembra una forma indeterminata del tipo $oo - oo$ , ma non riesco a ricavarla da li :/ Credo sia solamente un lapsus di algebra spicciola :/
Grazie
A me viene, sostituendo:
$lim_(x -> -oo) (\sqrt{2(-oo)^2 + (-oo) + 2}) / (-oo +2)$
Ora, al numeratore, $(-oo)^2$ è $+oo$ giusto?
Quindi verrebbe $(oo - oo) / (-oo)$
Ma da questo, che formula indeterminata ricavo? Perchè a occhio sembra una forma indeterminata del tipo $oo - oo$ , ma non riesco a ricavarla da li :/ Credo sia solamente un lapsus di algebra spicciola :/
Grazie
Risposte
Devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito 
"Brancaleone":
Devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito
Ma parli della risoluzione del limite? Il limite l'ho risolto! E' che non sono riuscito a determinare che tipo di forma indeterminata viene, all'inizio, al momento della 'sostituzione'
"Baldur":
[quote="Brancaleone"]Devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito
Ma parli della risoluzione del limite? Il limite l'ho risolto! E' che non sono riuscito a determinare che tipo di forma indeterminata viene, all'inizio, al momento della 'sostituzione'[/quote]
Ripeto: devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito.
Come hai fatto a calcolarlo se non sai che forma indeterminata ti viene?
"Brancaleone":
[quote="Baldur"][quote="Brancaleone"]Devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito
Ma parli della risoluzione del limite? Il limite l'ho risolto! E' che non sono riuscito a determinare che tipo di forma indeterminata viene, all'inizio, al momento della 'sostituzione'[/quote]
Ripeto: devi studiare la gerarchia degli ordini di infinito.
Come hai fatto a calcolarlo se non sai che forma indeterminata ti viene?
[/quote]Ho supposto che fosse $oo-oo$ a dir la verità
Però il limite è riuscito, quindi probabilmente era quella la forma indeterminata! Ma non riesco a capire come sostituendo, possa arrivare a $oo - oo$ o ad un'altra forma indeterminata
Beh stando agli ordini di infinitesimo, poiché conta il grado più alto, la forma indeterminata è
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=(+oo)/(-oo)$
che però si risolve facilmente facendo
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2)/x=sqrt2 |x|/x=-sqrt2$
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=(+oo)/(-oo)$
che però si risolve facilmente facendo
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2)/x=sqrt2 |x|/x=-sqrt2$
e che forma indeterminata è? io conosco solo $oo / oo$
E comunque non ho ancora capito come fa a venire questa forma indeterminata, andando a sostituire il valore a cui tende la x, all'inizio, come si fa di solito :O
E comunque non ho ancora capito come fa a venire questa forma indeterminata, andando a sostituire il valore a cui tende la x, all'inizio, come si fa di solito :O
Ma è un infinito su infinito!
Comunque:
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=sqrt(2 cdot (-oo)^2+(-oo)+2)/((-oo)+2)=sqrt(2 cdot (+oo^2)-oo+2)/(-oo+2)$
Per la gerarchia degli ordini di inifinitesimo:
$=sqrt(2 cdot (+oo^2))/(-oo)=(+oo text( di ordine 1))/(-oo text( di ordine 1))$
Essendo dello stesso ordine, il limite è finito, infatti:
$=sqrt(2x^2)/(-x)=(sqrt2|x|)/(-x)=sqrt2$
Comunque:
$lim_(x -> -oo) sqrt(2x^2+x+2)/(x+2)=sqrt(2 cdot (-oo)^2+(-oo)+2)/((-oo)+2)=sqrt(2 cdot (+oo^2)-oo+2)/(-oo+2)$
Per la gerarchia degli ordini di inifinitesimo:
$=sqrt(2 cdot (+oo^2))/(-oo)=(+oo text( di ordine 1))/(-oo text( di ordine 1))$
Essendo dello stesso ordine, il limite è finito, infatti:
$=sqrt(2x^2)/(-x)=(sqrt2|x|)/(-x)=sqrt2$
L'uso della gerarchia degli infiniti non è altro che l'utilizzo automatico di questo procedimento:
\begin{align}
\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + x + 2}}{x+2} &= \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^2\Bigl(2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \Bigr)}}{x+2} \\
&= \biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr)\sqrt{\lim_{x \to -\infty} \biggl( 2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\biggr)} \\
&= \biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr)\sqrt{ 2 + \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^2}} \\
&= \sqrt{2}\biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr) \\
&= \sqrt{2}\biggl(\lim_{x \to -\infty} - \frac{x}{x + 2}\biggr)\quad \text{dove questo passaggio è motivato dal fatto che }x\text{ è negativo} \\
&= \sqrt{2}\Biggl(\lim_{x \to -\infty} -\biggl(1 + \frac{2}{x}\biggr)^{-1}\Biggr) \\
&= -\sqrt{2}\biggl(1 + \lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x}\biggr)^{-1} \\
&= -\sqrt{2}
\end{align}
\begin{align}
\lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{2x^2 + x + 2}}{x+2} &= \lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^2\Bigl(2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2} \Bigr)}}{x+2} \\
&= \biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr)\sqrt{\lim_{x \to -\infty} \biggl( 2 + \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}\biggr)} \\
&= \biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr)\sqrt{ 2 + \lim_{x \to -\infty}\frac{1}{x} + \lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x^2}} \\
&= \sqrt{2}\biggl(\lim_{x \to -\infty} \frac{\lvert x \rvert}{x + 2}\biggr) \\
&= \sqrt{2}\biggl(\lim_{x \to -\infty} - \frac{x}{x + 2}\biggr)\quad \text{dove questo passaggio è motivato dal fatto che }x\text{ è negativo} \\
&= \sqrt{2}\Biggl(\lim_{x \to -\infty} -\biggl(1 + \frac{2}{x}\biggr)^{-1}\Biggr) \\
&= -\sqrt{2}\biggl(1 + \lim_{x \to -\infty}\frac{2}{x}\biggr)^{-1} \\
&= -\sqrt{2}
\end{align}
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