Che esercizio è?!
Sono appena entrato nel mondo di analisi 2 e vorrei capire che tipologia di esercizio è il seguente, e come si calcola... cercando se possibile di utilizzare una terminologia di base che digerisco senz'altro meglio.
Vanno benissimo anche dei link.
$\int_{B}^{} x/(x^2+y^2) dxdy$ dove $B$ è il cerchio unitario centrato nell'origine.
$B={(x,y)inRR^2: x^2+y^2<=1}$
Grazie
Vanno benissimo anche dei link.
$\int_{B}^{} x/(x^2+y^2) dxdy$ dove $B$ è il cerchio unitario centrato nell'origine.
$B={(x,y)inRR^2: x^2+y^2<=1}$
Grazie
Risposte
.. integrale doppio?
teoria di analisi 2 l'hai già sentita?
teoria di analisi 2 l'hai già sentita?
"mic999":
.. integrale doppio?
teoria di analisi 2 l'hai già sentita?
no, non ho idea da dove partire
Ciao zio_mangrovia,
Un po' come il fantastico mondo di Oz...
Scherzi a parte, ti aiuto a risolverlo, ma non ti ci abituare eh...
1° metodo:
Innanzitutto sia la funzione integranda che il dominio
$B = {(x,y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1} $ suggeriscono il passaggio alla trasformazione polare:
$\Phi(\rho,\theta) := {(x=\rho cos\theta),(y =\rho sin\theta):} $
ove $\rho \ge 0$, $0 \le \theta < 2\pi $, $|det J_{\Phi(\rho, \theta)}| = \rho $ e
$B' = \Phi^{-1}(B) := {(\rho,\theta) \in \RR^2: 0\le \rho \le 1, 0 \le \theta < 2\pi} $
per cui si ha:
$int_{B} x/(x^2+y^2) dxdy = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} |det J_{\Phi(\rho, \theta)}| d\rho\d\theta = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} \rho d\rho\d\theta = int_{B'} cos\theta d\rho\d\theta = $
$ = int_0^1 d\rho int_0^{2\pi} cos\theta d\theta = 0 $
2° metodo (senza calcoli!):
la funzione integranda $f(x, y) := frac{x}{x^2 + y^2} $ è una funzione dispari rispetto a $x$ integrata su un dominio $B$ simmetrico rispetto all'asse $y$, per cui l'integrale proposto è nullo.
"zio_mangrovia":
Sono appena entrato nel mondo di analisi 2
Un po' come il fantastico mondo di Oz...
Scherzi a parte, ti aiuto a risolverlo, ma non ti ci abituare eh...
1° metodo:
Innanzitutto sia la funzione integranda che il dominio
$B = {(x,y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1} $ suggeriscono il passaggio alla trasformazione polare:
$\Phi(\rho,\theta) := {(x=\rho cos\theta),(y =\rho sin\theta):} $
ove $\rho \ge 0$, $0 \le \theta < 2\pi $, $|det J_{\Phi(\rho, \theta)}| = \rho $ e
$B' = \Phi^{-1}(B) := {(\rho,\theta) \in \RR^2: 0\le \rho \le 1, 0 \le \theta < 2\pi} $
per cui si ha:
$int_{B} x/(x^2+y^2) dxdy = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} |det J_{\Phi(\rho, \theta)}| d\rho\d\theta = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} \rho d\rho\d\theta = int_{B'} cos\theta d\rho\d\theta = $
$ = int_0^1 d\rho int_0^{2\pi} cos\theta d\theta = 0 $
2° metodo (senza calcoli!):
la funzione integranda $f(x, y) := frac{x}{x^2 + y^2} $ è una funzione dispari rispetto a $x$ integrata su un dominio $B$ simmetrico rispetto all'asse $y$, per cui l'integrale proposto è nullo.
"pilloeffe":
Ciao zio_mangrovia,
[quote="zio_mangrovia"]Sono appena entrato nel mondo di analisi 2
Un po' come il fantastico mondo di Oz...
Scherzi a parte, ti aiuto a risolverlo, ma non ti ci abituare eh...
1° metodo:
Innanzitutto sia la funzione integranda che il dominio
$B = {(x,y) \in \RR^2: x^2 + y^2 \le 1} $ suggeriscono il passaggio alla trasformazione polare:
$\Phi(\rho,\theta) := {(x=\rho cos\theta),(y =\rho sin\theta):} $
ove $\rho \ge 0$, $0 \le \theta < 2\pi $, $|det J_{\Phi(\rho, \theta)}| = \rho $ e
$B' = \Phi^{-1}(B) := {(\rho,\theta) \in \RR^2: 0\le \rho \le 1, 0 \le \theta < 2\pi} $
per cui si ha:
$int_{B} x/(x^2+y^2) dxdy = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} |det J_{\Phi(\rho, \theta)}| d\rho\d\theta = int_{B'} frac{\rho cos\theta}{\rho^2} \rho d\rho\d\theta = int_{B'} cos\theta d\rho\d\theta = $
$ = int_0^1 d\rho int_0^{2\pi} cos\theta d\theta = 0 $
2° metodo (senza calcoli!):
la funzione integranda $f(x, y) := frac{x}{x^2 + y^2} $ è una funzione dispari rispetto a $x$ integrata su un dominio $B$ simmetrico rispetto all'asse $y$, per cui l'integrale proposto è nullo.[/quote]
Grazie, più che altro avrei bisogno di un suggerimento di cosa iniziare a studiare per l'approccio a questo genere di esercizi.
Integrali multipli, argomento standard del programma di Analisi Matematica II.
Come testi ce ne sono diversi, non ti consiglio i miei perché è roba che risale al paleolitico...
Comunque se cerchi su google "libri di analisi matematica 2" ne trovi parecchi:
- Pagani - Salsa
- De Marco
- Canuto - Tabacco
- Fusco - Marcellini - Sbordone
- Giusti
Poi chiaramente dipende anche da cosa stai studiando: Matematica, Fisica, Ingegneria, etc.
Se stai seguendo un corso con un docente, informati sui testi consigliati.
Dai un'occhiata anche a questo thread.
Come testi ce ne sono diversi, non ti consiglio i miei perché è roba che risale al paleolitico...
Comunque se cerchi su google "libri di analisi matematica 2" ne trovi parecchi:
- Pagani - Salsa
- De Marco
- Canuto - Tabacco
- Fusco - Marcellini - Sbordone
- Giusti
Poi chiaramente dipende anche da cosa stai studiando: Matematica, Fisica, Ingegneria, etc.
Se stai seguendo un corso con un docente, informati sui testi consigliati.
Dai un'occhiata anche a questo thread.
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